Schema (quasi) elementare - linea elastica
Salve a tutti!! Per evitare fraintendimenti ho disegnato in Paint lo schema che mi sta mettendo in difficoltà:
dove vi è un pattino a sinistra, con sotto una molla traslazionale di rigidezza \(k = \frac{E\,J_x}{L^3}\) e sopra applicata
una forza \(F\), mentre a destra c'è un semplice carrello (la trave di rigidezza \(E\,J_x\) è lunga \(L\)).
1. Per evitare l'introduzione della classica incognita iperstatica \(X\), per integrare la nota equazione della linea elastica del quart'ordine \(v^{iv}(z) = 0\), in questo caso quali sarebbe le 4 condizioni al contorno (due cinematiche e due statiche)
da introdurre? Una banale è certamente \(v(L)=0\), ma poi? Io molto insicuramente direi anche \(v(0)=-\frac{F}{k}\) e \(v'(0)=0\) ma la quarta non saprei proprio dove pigliarla!!
2. E' proprio per questo motivo che nel caso di travi iperstatiche ci hanno insegnato di introdurre le incognite iperstatiche, ricavarci il momento \(M(z)\) e a quel punto integrare la più semplice \(v''(z) = - \frac{M(z)}{E\,J_x}\) ponendo
come condizioni al contorno le due di carattere cinematico e le rimanenti di congruenza per determinare il
valore delle incognite iperstatiche. Ma in questo caso mi trovo comunque in difficoltà, in quanto a naso metterei l'incognita proprio al posto della molla, a contrastare \(F\): è corretto o sto rendendo la struttura labile? Purtroppo
mi vengono sempre questi dubbi...
Spero che qualcuno mi possa chiarire un po' la situazione indicandomi la strada che percorrerebbe. Grazie.
dove vi è un pattino a sinistra, con sotto una molla traslazionale di rigidezza \(k = \frac{E\,J_x}{L^3}\) e sopra applicata
una forza \(F\), mentre a destra c'è un semplice carrello (la trave di rigidezza \(E\,J_x\) è lunga \(L\)).
1. Per evitare l'introduzione della classica incognita iperstatica \(X\), per integrare la nota equazione della linea elastica del quart'ordine \(v^{iv}(z) = 0\), in questo caso quali sarebbe le 4 condizioni al contorno (due cinematiche e due statiche)
da introdurre? Una banale è certamente \(v(L)=0\), ma poi? Io molto insicuramente direi anche \(v(0)=-\frac{F}{k}\) e \(v'(0)=0\) ma la quarta non saprei proprio dove pigliarla!!
2. E' proprio per questo motivo che nel caso di travi iperstatiche ci hanno insegnato di introdurre le incognite iperstatiche, ricavarci il momento \(M(z)\) e a quel punto integrare la più semplice \(v''(z) = - \frac{M(z)}{E\,J_x}\) ponendo
come condizioni al contorno le due di carattere cinematico e le rimanenti di congruenza per determinare il
valore delle incognite iperstatiche. Ma in questo caso mi trovo comunque in difficoltà, in quanto a naso metterei l'incognita proprio al posto della molla, a contrastare \(F\): è corretto o sto rendendo la struttura labile? Purtroppo
mi vengono sempre questi dubbi...
Spero che qualcuno mi possa chiarire un po' la situazione indicandomi la strada che percorrerebbe. Grazie.
Risposte
Mi sono permesso di ridisegnare il grafico con FidoCadJ, per mostrare come il programma può essere utilizzato:
[fcd="linea elastica"][FIDOCAD]
FJC C 1.0
FJC A 0.35
PL 40 15 40 35 1 0
LI 42 16 42 33 0
LI 42 25 106 25 0
LI 106 25 101 33 0
LI 101 33 110 33 0
LI 110 33 106 25 0
EV 101 33 104 36 0
EV 107 33 110 36 0
LI 98 36 113 36 0
LI 100 36 98 38 0
LI 102 36 100 38 0
LI 104 36 102 38 0
LI 106 36 104 38 0
LI 108 36 106 38 0
LI 110 36 108 38 0
LI 112 36 110 38 0
LI 43 27 103 27 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 42 53 106 53 0
FCJ 0 0 3 1 0 1
TY 73 54 4 3 0 0 0 Helvetica L
TY 47 63 4 3 0 0 0 Helvetica
LI 42 50 42 56 0
LI 106 50 106 56 0
LI 40 24 38 26 0
LI 40 22 38 24 0
LI 40 20 38 22 0
LI 40 18 38 20 0
LI 40 16 38 18 0
LI 40 26 38 28 0
LI 40 28 38 30 0
LI 40 30 38 32 0
LI 40 34 38 36 0
LI 40 32 38 34 0
LI 42 13 42 1 2
FCJ 1 0 3 1 0 1
TY 38 0 4 3 0 0 2 Helvetica F
TY 47 23 4 3 0 0 2 Helvetica
LI 48 31 48 42 3
FCJ 2 0 3 1 0 1
TY 47 42 4 3 0 0 3 Helvetica v
TY 53 41 4 3 0 0 3 Helvetica
LI 48 31 58 31 3
FCJ 2 0 3 1 0 1
TY 59 29 4 3 0 0 3 Helvetica z
TY 53 41 4 3 0 0 3 Helvetica
BE 57 35 57 37 57 40 51 42 3
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 42 35 42 45 7
FCJ 0 0 3 2 0 1
TY 38 38 4 3 0 0 7 Helvetica k
TY 46 44 4 3 0 0 7 Helvetica
LI 39 45 45 45 7[/fcd]
[fcd="linea elastica"][FIDOCAD]
FJC C 1.0
FJC A 0.35
PL 40 15 40 35 1 0
LI 42 16 42 33 0
LI 42 25 106 25 0
LI 106 25 101 33 0
LI 101 33 110 33 0
LI 110 33 106 25 0
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LI 106 36 104 38 0
LI 108 36 106 38 0
LI 110 36 108 38 0
LI 112 36 110 38 0
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FCJ 0 0 3 2 1 0
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TY 46 44 4 3 0 0 7 Helvetica
LI 39 45 45 45 7[/fcd]
Ciao
io a dir la verità ho sempre utilizzato l'equazione differenziale del secondo ordine anzichè del 4
comunque una condizione che potresti porre è $M(L)=0 \rarr -EJ*v''(L)=0$
ma sono un' pò arrugginito sull'argomento, potrei sbagliarmi
io a dir la verità ho sempre utilizzato l'equazione differenziale del secondo ordine anzichè del 4
comunque una condizione che potresti porre è $M(L)=0 \rarr -EJ*v''(L)=0$
ma sono un' pò arrugginito sull'argomento, potrei sbagliarmi
Se un pattino e' quello che io chiamo doppio pendolo (ovvero un vincolo che fornisce una reazione in direzione parallela al suo asse ed un momento) allora per la linea elastica scriverei queste condizioni
1) v(l) = 0 (non vi e' spostamento sul carrello)
2) -EJ v''(l)=0 -> (non vi e' momento sul carrello, ovvero puoi anche dire v''(l)=0, non c'e' curvatura sul carrello)
3)v' (0) =0 (non c'e' nessun cedimento angolare sul pattino-doppio pendolo)
poi nel punto A ragionerei cosi':
facendo il bilancio delle forze agenti in A avrei una forza F diretta verso il basso (verso positivo) ed un forza [tex]F_{molla}[/tex] diretta verso l'alto (verso negativo) [questo perche' la sezione A si sposta verso il basso, v>0 e quindi la molla esercitera' una reazione verso l'alto]
Facendo il bilancio meccanico delle forze in A rispetto all'asse v ho
[tex]F - F_{molla}\ =\ 0\ \rightarrow\ F_{molla}\ = F\ \rightarrow\ -kv\ = F\ \rightarrow\ v\ =\ -\ \frac{F}{k}[/tex]
e quindi
[tex]v(0)\ =\ -\ \frac{F}{k}[/tex]
1) v(l) = 0 (non vi e' spostamento sul carrello)
2) -EJ v''(l)=0 -> (non vi e' momento sul carrello, ovvero puoi anche dire v''(l)=0, non c'e' curvatura sul carrello)
3)v' (0) =0 (non c'e' nessun cedimento angolare sul pattino-doppio pendolo)
poi nel punto A ragionerei cosi':
facendo il bilancio delle forze agenti in A avrei una forza F diretta verso il basso (verso positivo) ed un forza [tex]F_{molla}[/tex] diretta verso l'alto (verso negativo) [questo perche' la sezione A si sposta verso il basso, v>0 e quindi la molla esercitera' una reazione verso l'alto]
Facendo il bilancio meccanico delle forze in A rispetto all'asse v ho
[tex]F - F_{molla}\ =\ 0\ \rightarrow\ F_{molla}\ = F\ \rightarrow\ -kv\ = F\ \rightarrow\ v\ =\ -\ \frac{F}{k}[/tex]
e quindi
[tex]v(0)\ =\ -\ \frac{F}{k}[/tex]
Innanzitutto grazie a tutti per i vostri interventi, graditissimi.
Ora, dato che non ho i risultati di questo esercizio e non sono riuscita a trovare un riscontro da nessuna parte, l'unico modo che mi pare abbastanza ragionevole è quello di arrivare allo stesso risultato percorrendo strade differenti. In questo caso vi mostro prima l'integrazione dell'equazione di quarto ordine (quindi senza incognita iperstatica) e poi l'integrazione dell'equazione di secondo ordine (dunque avendo preventivamente calcolato il momento dipendente dall'incognita iperstatica).
1. Integrazione equazione del quarto ordine:
\[
\begin{cases}
v^{iv}(z) = 0 \\
v'(0) = v(l) = v''(l) = 0 \\
v(0) = - \frac{F}{k} = - \frac{F\,l^3}{E\,J_x}
\end{cases}
\; \; \Rightarrow \; \;
\begin{cases}
v(z) = - \frac{F}{E\,J_x}\left( z^3 - 3lz^2 + 2l^3 \right) \\
\varphi(z) := - v'(z) = \frac{3F}{2\,E\,J_x} z\,\left(z - 2l\right) \\
M(z) := - E\,J_x\,v''(z) = 3F\,(z - l) \\
T(z) := - E\,J_x\,v'''(z) = 3F
\end{cases}
\] 2. Integrazione equazione del secondo ordine (dove \(X\) è una forza che si oppone ad \(F\)):
\[
\begin{cases}
v''(z) = - \frac{(X - F)(z - l)}{E\,J_x} \\
v'(0) = v(l) = 0 \\
v(0) = \, ?
\end{cases}
\] Noto che per ottenere il risultato del punto 1. occorrerebbe imporre \(v(0) = -\frac{2\,F}{k}\) che mi pare non abbia alcun senso.
Potreste illuminarmi, per cortesia? Cosa sbaglio?
Ora, dato che non ho i risultati di questo esercizio e non sono riuscita a trovare un riscontro da nessuna parte, l'unico modo che mi pare abbastanza ragionevole è quello di arrivare allo stesso risultato percorrendo strade differenti. In questo caso vi mostro prima l'integrazione dell'equazione di quarto ordine (quindi senza incognita iperstatica) e poi l'integrazione dell'equazione di secondo ordine (dunque avendo preventivamente calcolato il momento dipendente dall'incognita iperstatica).
1. Integrazione equazione del quarto ordine:
\[
\begin{cases}
v^{iv}(z) = 0 \\
v'(0) = v(l) = v''(l) = 0 \\
v(0) = - \frac{F}{k} = - \frac{F\,l^3}{E\,J_x}
\end{cases}
\; \; \Rightarrow \; \;
\begin{cases}
v(z) = - \frac{F}{E\,J_x}\left( z^3 - 3lz^2 + 2l^3 \right) \\
\varphi(z) := - v'(z) = \frac{3F}{2\,E\,J_x} z\,\left(z - 2l\right) \\
M(z) := - E\,J_x\,v''(z) = 3F\,(z - l) \\
T(z) := - E\,J_x\,v'''(z) = 3F
\end{cases}
\] 2. Integrazione equazione del secondo ordine (dove \(X\) è una forza che si oppone ad \(F\)):
\[
\begin{cases}
v''(z) = - \frac{(X - F)(z - l)}{E\,J_x} \\
v'(0) = v(l) = 0 \\
v(0) = \, ?
\end{cases}
\] Noto che per ottenere il risultato del punto 1. occorrerebbe imporre \(v(0) = -\frac{2\,F}{k}\) che mi pare non abbia alcun senso.
Potreste illuminarmi, per cortesia? Cosa sbaglio?
Io ti consiglierei di risolvere il sistema con il metodo delle forze (scegli come incognita iperstatica la reazione della molla oppure quella del carrello), trovati le Cds del sistema effettivo (quindi devi risolver F0, F1, trovarti il valore dell'incognita iperstatica con Muller-Breslau) e confrontare le Cds del sistema effettivo, con incognita iperstatica nota, con le cds ottenute con la linea elastica ...
"caesar753":
Io ti consiglierei di risolvere il sistema con il metodo delle forze (scegli come incognita iperstatica la reazione della molla oppure quella del carrello)
La verità è che tale metodo l'ho in programma di studiare domani
... per ora conosco linea elastica e plv. In ogni modo nel secondo caso l'incognita iperstatica l'ho messa al posto della reazione della molla ... ciononostante
non mi torna né con linea elastica come scritto sopra né con plv col quale ottengo \(X=F\) e quindi \(M(z) = 0\).
Guarda, sinceramente usare "il metodo del PLV" detto cosi' non capisco come si faccia ...
ad ogni modo la tua soluzione della linea elastica sembra corretta, almeno per quanto riguarda le condizioni alle estremita'...
P.S.: che universita' fai?
ad ogni modo la tua soluzione della linea elastica sembra corretta, almeno per quanto riguarda le condizioni alle estremita'...
P.S.: che universita' fai?
"caesar753":
Guarda, sinceramente usare "il metodo del PLV" detto cosi' non capisco come si faccia ...
Ponendo come incognita iperstatica \(X\) la reazione della molla e facendo percorrere l'ascissa curvilinea \(z\) da sinistra verso destra ottengo \(T(z) = X - F\) ed \(M(z) = (X - F)(z - l)\). A questo punto, applicando il principio dei lavori virtuali (per travi), ottengo \[ L_{int} = \int_0^l \frac{\partial\,M(z)}{\partial X} \frac{M(z)}{E\,J_x} dz + \frac{\partial\,T(0)}{\partial X}\frac{T(0)}{k} = L_{ext} = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; X = F \] dove \(k := \frac{E\,J_x}{l^3}\). Come si può notare c'è sicuramente qualcosa che non va... ma non capisco cosa.
"caesar753":
ad ogni modo la tua soluzione della linea elastica sembra corretta, almeno per quanto riguarda le condizioni alle estremità...
Ehm, se sono corrette quelle il resto non può essere sbagliato dato che i conti li ho fatti fare a Mathematica.
"caesar753":
P.S.: che università fai?
Ingegneria per l'ambiente ed il territorio ... si nota?
Nel lavoro interno io trascurerei il contributo a taglio (si tratta di una trave snella) Mentre l'azione della molla lo valuterei come lavoro esterno
mmh... ottimo suggerimento ELWOOD...
in effetti la reazione della molla e il contributo della forza F fanno parte del lavoro esterno, ecco come risolverei
[tex]\mathcal{L}_{int}\ =\ \int_0^l{(z-l)\ \frac{(X-F)(z-l)}{EJ}\ dz}\ =\ \mathcal{L}_{ext}=\ \frac{F}{k}[/tex]
non so se correttamente o no, ma il lavoro esterno e' dato dalla forza X, pensata unitaria, per lo spostamento che il punto A subisce a causa del cedimento della molla indotto dalla forza F, che e' appunto pari ad [tex]\frac{F}{k}[/tex], risolvendo trovo che
[tex]\begin{array}{l}
\frac{(X-F)}{EJ}\left[\frac{(z-l)^3}{3}\right]_0^l\ =\ \frac{F}{k}\\
\frac{(X-F)}{3EJ}l^3\ =\ F\ \frac{l^3}{EJ}\ \rightarrow\ X-F\ =\ 3F\ \rightarrow\ X=4F
\end{array}[/tex]
se metti questa X nelle equazioni del second'ordine danno risultati coerenti con la linea elastica integrale!
in effetti la reazione della molla e il contributo della forza F fanno parte del lavoro esterno, ecco come risolverei
[tex]\mathcal{L}_{int}\ =\ \int_0^l{(z-l)\ \frac{(X-F)(z-l)}{EJ}\ dz}\ =\ \mathcal{L}_{ext}=\ \frac{F}{k}[/tex]
non so se correttamente o no, ma il lavoro esterno e' dato dalla forza X, pensata unitaria, per lo spostamento che il punto A subisce a causa del cedimento della molla indotto dalla forza F, che e' appunto pari ad [tex]\frac{F}{k}[/tex], risolvendo trovo che
[tex]\begin{array}{l}
\frac{(X-F)}{EJ}\left[\frac{(z-l)^3}{3}\right]_0^l\ =\ \frac{F}{k}\\
\frac{(X-F)}{3EJ}l^3\ =\ F\ \frac{l^3}{EJ}\ \rightarrow\ X-F\ =\ 3F\ \rightarrow\ X=4F
\end{array}[/tex]
se metti questa X nelle equazioni del second'ordine danno risultati coerenti con la linea elastica integrale!
"caesar753":
il lavoro esterno e' dato dalla forza X, pensata unitaria, per lo spostamento che il punto A subisce a causa del cedimento della molla indotto dalla forza F, che e' appunto pari ad [tex]\frac{F}{k}[/tex]
Oddio, ecco la cricca!!! La verità è che non avevo ben chiaro come calcolare i lavori con quelle molle così mi ero fatta una regoletta ad personam.
Ovvero facevo il prodotto tra la reazione interessata dalla molla calcolata nel punto di applicazione (normale, taglio o momento in base alla posizione e al tipo di molla) con incognita iperstatica unitaria per la stessa quantità con incognita iperstatica non unitaria, diviso la rigidezza \(k\). Per mia (s)fortuna mi è sempre andata bene eccetto alcuni casi. Solo adesso che me lo avete fatto notare (in più di un intervento) ho notato che tale regoletta fallisce puntualmente quando nel medesimo punto concorrono forze esterne, come in questo caso \(F\). 
Allora, cercando di rimediare una volta per tutte, la frase che ho quotato è il ragionamento generale, vero? Se sì, per quanto riguarda il segno, quel maledetto segno, come si ragiona? Grazie mille, mi state dando una mano enorme.
Mah... quel ragionamento mi sembrerebbe tornare (ma ho sempre applicato in modo molto fumoso il PLV in questa modalita'...), per quanto riguarda i segni, nessuno li ha mai capiti 
"caesar753":
per quanto riguarda i segni, nessuno li ha mai capiti
Concordo
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