[RISOLTO] [Teoria dei sistemi] Dubbio sulla matrice D e la W(t)
Buonasera a tutti, espongo subito il mio problema. Ho le seguenti matrici A,B,C e D:
\(\displaystyle A = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \)
\(\displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)
\(\displaystyle C = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\(\displaystyle D = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \)
Ho calcolato la matrice \(\displaystyle \Phi(t) = \begin{bmatrix} \frac{e^{-3t}}{2}+\frac{e^{-t}}{2} & \frac{e^{-3t}}{2}-\frac{e^{-t}}{2} & 0 \\ \frac{e^{-3t}}{2}-\frac{e^{-t}}{2} & \frac{e^{-3t}}{2}+\frac{e^{-t}}{2} & 0 \\ -\frac{e^{-3t}}{2}+e^{-2t}-\frac{e^{-t}}{2} & - \frac{e^{-3t}}{2}+\frac{e^{-t}}{2} & e^{-2t} \end{bmatrix} \)
Ora vorrei calcolare la \(\displaystyle W(t) = C * \Phi(t) * B + D \) che mi viene: \(\displaystyle W(t) = -3e^{-3t} + e^{-2t} +1 \)
Ho la soluzione e tutte le matrici A,B,C,D e \(\displaystyle \Phi(t) \) sono corrette, mentre la \(\displaystyle W(t) \) e' sbagliata.
Dovrebbe venire: \(\displaystyle W(t) = -3e^{-3t} + e^{-2t} + \delta(t) \) dove \(\displaystyle \delta(t) \) è la delta di Dirac.
Questo e' il mio problema: non capisco perchè non lascia 1 come matrice D, invece al suo posto mette la delta di Dirac.
All'inizio pensavo fosse uguale invece poi quando calcolo la \(\displaystyle W(s) \) sorge il problema perchè viene diversa.
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle A = \begin{bmatrix} -2 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} \)
\(\displaystyle B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)
\(\displaystyle C = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\(\displaystyle D = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \)
Ho calcolato la matrice \(\displaystyle \Phi(t) = \begin{bmatrix} \frac{e^{-3t}}{2}+\frac{e^{-t}}{2} & \frac{e^{-3t}}{2}-\frac{e^{-t}}{2} & 0 \\ \frac{e^{-3t}}{2}-\frac{e^{-t}}{2} & \frac{e^{-3t}}{2}+\frac{e^{-t}}{2} & 0 \\ -\frac{e^{-3t}}{2}+e^{-2t}-\frac{e^{-t}}{2} & - \frac{e^{-3t}}{2}+\frac{e^{-t}}{2} & e^{-2t} \end{bmatrix} \)
Ora vorrei calcolare la \(\displaystyle W(t) = C * \Phi(t) * B + D \) che mi viene: \(\displaystyle W(t) = -3e^{-3t} + e^{-2t} +1 \)
Ho la soluzione e tutte le matrici A,B,C,D e \(\displaystyle \Phi(t) \) sono corrette, mentre la \(\displaystyle W(t) \) e' sbagliata.
Dovrebbe venire: \(\displaystyle W(t) = -3e^{-3t} + e^{-2t} + \delta(t) \) dove \(\displaystyle \delta(t) \) è la delta di Dirac.
Questo e' il mio problema: non capisco perchè non lascia 1 come matrice D, invece al suo posto mette la delta di Dirac.
All'inizio pensavo fosse uguale invece poi quando calcolo la \(\displaystyle W(s) \) sorge il problema perchè viene diversa.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Ciao non so se intendiamo la stessa cosa,
Io quando ho delle matrici in questo modo, determino la funzione di trasferimento
$C(SI-A)^-1$$B_mu+D_mu$
dove in S ci sta la matrice identita..
dopo uso i fratti semplici e la trasformata di Laplace
poi usando i fratti semplici e facendo l'antitrasformata arrivo a delle soluzioni simili a quelle trovate da te
$W(t) = -3e^{-3t} + e^{-2t} + \delta(t) $
mi fanno pensare ad $A/(s+3)$
con $A=3$ ecc ecc..
Io quando ho delle matrici in questo modo, determino la funzione di trasferimento
$C(SI-A)^-1$$B_mu+D_mu$
dove in S ci sta la matrice identita..
dopo uso i fratti semplici e la trasformata di Laplace
poi usando i fratti semplici e facendo l'antitrasformata arrivo a delle soluzioni simili a quelle trovate da te
$W(t) = -3e^{-3t} + e^{-2t} + \delta(t) $
mi fanno pensare ad $A/(s+3)$
con $A=3$ ecc ecc..
Ti ringrazio per la risposta.
Sì conoscevo quella formula però sembrava più complicata da applicare anche perche' devi fare una inversa e fa perdere tempo (soprattutto quando aumenta la dimensione di A).
Ho provato a svolgerla con Wolfram ed effettivamente viene come nella soluzione. Praticamente ti trovi prima la \(\displaystyle W(s) \) e poi la \(\displaystyle W(t) \), il che è corretto.
Il fatto è che sarebbe molto più veloce usare la formula scritta nel primo post per calcolare la \(\displaystyle W(t) \) che poi è la stessa che usa il prof nelle soluzioni (\(\displaystyle W(t) = \) matrice delle risposte impulsive.)
In questo modo calcoli prima la \(\displaystyle W(t) \) poi applicando Laplace ad ogni singolo termine trovi la \(\displaystyle W(s) \) (sono trasformate elementari) però il problema della delta di Dirac rimane.
Avete qualche altro consiglio?
Grazie ancora!
Sì conoscevo quella formula però sembrava più complicata da applicare anche perche' devi fare una inversa e fa perdere tempo (soprattutto quando aumenta la dimensione di A).
Ho provato a svolgerla con Wolfram ed effettivamente viene come nella soluzione. Praticamente ti trovi prima la \(\displaystyle W(s) \) e poi la \(\displaystyle W(t) \), il che è corretto.
Il fatto è che sarebbe molto più veloce usare la formula scritta nel primo post per calcolare la \(\displaystyle W(t) \) che poi è la stessa che usa il prof nelle soluzioni (\(\displaystyle W(t) = \) matrice delle risposte impulsive.)
In questo modo calcoli prima la \(\displaystyle W(t) \) poi applicando Laplace ad ogni singolo termine trovi la \(\displaystyle W(s) \) (sono trasformate elementari) però il problema della delta di Dirac rimane.
Avete qualche altro consiglio?
Grazie ancora!
Per chi dovesse leggere il post in futuro:
Avevo sbagliato la formula, quella corretta è: \(\displaystyle W(t) = C * \Phi(t) * B + \delta(t)*D \)
Avevo sbagliato la formula, quella corretta è: \(\displaystyle W(t) = C * \Phi(t) * B + \delta(t)*D \)
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