[RISOLTO, Elettrotecnica] Rete lineare del secondo ordine
Ciao a tutti, sto avendo difficoltà nel risolvere un esercizio tratto da una prova scritta. La rete da analizzare è la seguente
Viene richiesto di trovare l'andamento nel tempo, per $ t >0 $ , della tensione ai capi del condensatore. L'analisi dev'essere svolta nel dominio di Laplace. Il problema che sto incontrando è che ho un risultato per ogni metodo che ho utilizzato, tutti diversi tra loro.
Di seguito mostrerò i miei tentativi.
1) Dominio di Laplace - teorema di Millman
$ V_{C} (s) = \frac{\frac{1}{RS} + C}{\frac{1}{R} + sC + \frac{1}{sL}} = \frac{RCs +1}{(RC)s^2 + s + \frac{R}{L}} = \frac{RCs +1}{(RC)(s +p)(s + p^ {\ast})} $ dove $ p= -\frac{100}{3} \pm j \frac{100 \sqrt{299}}{3} $ .
2) Dominio di Laplace - metodo delle correnti di maglia
Qui arrivo addirittura ad avere un denominatore di ordine 3.
Il sistema che ho è
$ [ ( (R+Z_C) , -Z_C ),( Z_C , -(Z_C + Z_L) ) ] [(m_1),(m_2)] = [(0) , (-\frac{1}{s})] $
3) Dominio di Laplace - metodo dei potenziali nodali
Il sistema che ho qui è
$ [ ( G , 0 ),( G , -(1/Z_C + 1/Z_L) ) ] [(1/s),(e_B)] = [(I_g) , (-C)] $
dal quale ottengo $ V_C(s) = e_B = \frac{(15*10^-6)s + 10^-3}{(15*10^-6)s^2 + 5} $ .
Trovandomi alle strette, ho tentato anche un'analisi nel dominio del tempo. Qui ho le relazioni
$ { ( i_C = -\frac{v_C}{2} + \frac{1}{5} ),( v_L = v_C ):} $ dalle quali ricavo che $ v_C(t)=1+ e^{-\frac{200}{3}t} $ .
Trattandosi di un esercizio d'esame, non ho a disposizione il risultato. Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire dove sono gli errori commessi.
Viene richiesto di trovare l'andamento nel tempo, per $ t >0 $ , della tensione ai capi del condensatore. L'analisi dev'essere svolta nel dominio di Laplace. Il problema che sto incontrando è che ho un risultato per ogni metodo che ho utilizzato, tutti diversi tra loro.
Di seguito mostrerò i miei tentativi.
1) Dominio di Laplace - teorema di Millman
$ V_{C} (s) = \frac{\frac{1}{RS} + C}{\frac{1}{R} + sC + \frac{1}{sL}} = \frac{RCs +1}{(RC)s^2 + s + \frac{R}{L}} = \frac{RCs +1}{(RC)(s +p)(s + p^ {\ast})} $ dove $ p= -\frac{100}{3} \pm j \frac{100 \sqrt{299}}{3} $ .
2) Dominio di Laplace - metodo delle correnti di maglia
Qui arrivo addirittura ad avere un denominatore di ordine 3.
Il sistema che ho è
$ [ ( (R+Z_C) , -Z_C ),( Z_C , -(Z_C + Z_L) ) ] [(m_1),(m_2)] = [(0) , (-\frac{1}{s})] $
3) Dominio di Laplace - metodo dei potenziali nodali
Il sistema che ho qui è
$ [ ( G , 0 ),( G , -(1/Z_C + 1/Z_L) ) ] [(1/s),(e_B)] = [(I_g) , (-C)] $
dal quale ottengo $ V_C(s) = e_B = \frac{(15*10^-6)s + 10^-3}{(15*10^-6)s^2 + 5} $ .
Trovandomi alle strette, ho tentato anche un'analisi nel dominio del tempo. Qui ho le relazioni
$ { ( i_C = -\frac{v_C}{2} + \frac{1}{5} ),( v_L = v_C ):} $ dalle quali ricavo che $ v_C(t)=1+ e^{-\frac{200}{3}t} $ .
Trattandosi di un esercizio d'esame, non ho a disposizione il risultato. Spero che qualcuno possa aiutarmi a capire dove sono gli errori commessi.
Risposte
Direi che dovresti ricontrollare tutto quello che hai scritto, ad ogni modo, prova a partire dall'ultimo metodo, ovvero dallo studio nel dominio del tempo. 
Ciao Renzo 
perché non riuscivo a vedere dove sono gli errori, ho usato diversi approcci sperando di ottenere un risultato più "decente". Lo studio nel dominio del tempo mi sembra l'unico che potrebbe essere giusto. Dato che a me interessava la tensione ai capi del condensatore, ho semplicemente risolto l'equazione differenziale del primo ordine relativa all'elemento in questione. Cosa ne pensi?
perché non riuscivo a vedere dove sono gli errori, ho usato diversi approcci sperando di ottenere un risultato più "decente". Lo studio nel dominio del tempo mi sembra l'unico che potrebbe essere giusto. Dato che a me interessava la tensione ai capi del condensatore, ho semplicemente risolto l'equazione differenziale del primo ordine relativa all'elemento in questione. Cosa ne pensi?
"xh144fata":
... Lo studio nel dominio del tempo mi sembra l'unico che potrebbe essere giusto...
Purtroppo no; prova a riconsiderare il circuito resistivo associato e a ricontrollare le relazioni per le variabili di stato. Come pensi sia possibile che l'equazione differenziale sia del primo ordine, visto che la rete non è degenere e presenta due bipoli dinamici?
Sì, la rete è di secondo ordine, non ho mai detto il contrario. Quando parlavo di equazione differenziale del primo ordine, mi riferivo esclusivamente alla prima delle due relazioni. In $ { ( i_C = -\frac{v_C}{2} + \frac{1}{5} ),( v_L = v_C ):} $ , non vedendo una presenza esplicita di $ i_L $ nella prima equazione ho pensato di poter ricavare la grandezza di interesse semplicemente usando la prima equazione. Sbagliando, ovviamente.
Dunque, il procedimento corretto sarebbe stato il seguente.
Dalle due relazioni, ricaviamo l'equazione differenziale del secondo ordine in termini della grandezza di stato dell'induttore $ (3*10^-6)i_L''(t) + (10^-3)(i_L'(t))/2 = 1/5 $ , con le condizioni iniziali $ { ( i_L(0^-)= 0 ),( i_L'(0^-)= \frac{v_C(0^-)}{L} = 10^3 ):} $ . Troviamo $ i_L (t)= 400 ((3 (3 - 3 e^(-(500 t)/3)))/1000 + t) $ e quindi $ v_C(t) = 3/5 e^(-(500 t)/3) + 2/5 $ . È un po' più vicino all'andamento vero di $ v_C(t)$?
Dunque, il procedimento corretto sarebbe stato il seguente.
Dalle due relazioni, ricaviamo l'equazione differenziale del secondo ordine in termini della grandezza di stato dell'induttore $ (3*10^-6)i_L''(t) + (10^-3)(i_L'(t))/2 = 1/5 $ , con le condizioni iniziali $ { ( i_L(0^-)= 0 ),( i_L'(0^-)= \frac{v_C(0^-)}{L} = 10^3 ):} $ . Troviamo $ i_L (t)= 400 ((3 (3 - 3 e^(-(500 t)/3)))/1000 + t) $ e quindi $ v_C(t) = 3/5 e^(-(500 t)/3) + 2/5 $ . È un po' più vicino all'andamento vero di $ v_C(t)$?
Assolutamente no, non ci siamo ancora 
Scusa ma, se non segui attentamente i consigli che ti do e non controlli nemmeno i risultati che ottieni, arrivare alla soluzione sarà impossibile.
Per i consigli prova a rileggerli, per i risultati che ottieni, non ti sembra strano che:
i) un circuito R L C presenti una semplice discesa esponenziale?
ii) la tensione sul condensatore, a regime, risulti pari a 2/5 di volt?
iii) la corrente nell'induttore, cresca linearmente nel tempo?
Basta "guardare" il circuito, per capire quanto dovrebbero valere quei due ultimi valori, no
Scusa ma, se non segui attentamente i consigli che ti do e non controlli nemmeno i risultati che ottieni, arrivare alla soluzione sarà impossibile.
Per i consigli prova a rileggerli, per i risultati che ottieni, non ti sembra strano che:
i) un circuito R L C presenti una semplice discesa esponenziale?
ii) la tensione sul condensatore, a regime, risulti pari a 2/5 di volt?
iii) la corrente nell'induttore, cresca linearmente nel tempo?
Basta "guardare" il circuito, per capire quanto dovrebbero valere quei due ultimi valori, no
Ci tengo a far presente che apprezzo i tuoi consigli e non li ignoro di proposito. Detto questo, confesso che i calcoli del mio ultimo intervento sono stati fatti in modo frettoloso.
Effettivamente quell'aumento lineare di $ i_L $ è veramente inguardabile (iii).
Se non sbaglio, in un circuito RLC, tra induttore e condensatore dovrebbe verificarsi un "rimbalzo di energia" che porta ad avere delle oscillazioni smorzate (come quelle che si verificherebbero se avessimo una massa in moto attaccata ad una molla, entrambi immersi in un fluido). O ricordo male? (i)
Osservando di nuovo (e più attentamente) le relazioni ottenute dal circuito resistivo equivalente, ho che $ { ( i_C = -\frac{v_C}{5} - i_L + 1/5 ),( v_L = v_C ):} $ da cui deriviamo l'equazione di secondo ordine $ (3*10^-6)i_L'' + (2*10^-4)i_L' + i_L = 1/5 $ con le condizioni iniziali viste prima. Da qui, possiamo ottenere l'andamento di $i_L $ , che risulta $ i_L (t) = e^{-\frac{100}{3}t}{-\frac{1}{5}cos(\frac{100\sqrt{299}}{3}t) + 1.72 sin(\frac{100\sqrt{299}}{3}t)}+ 1/5 $ . Derivando e moltiplicando per $10^-3$ dovremmo poi ottenere la tensione ai capi del condensatore. Qui, se non ho fatto ancora una volta male i conti, ho che per $ t\rightarrow +infty $ la tensione ai capi del condensatore è nulla. Questo era deducibile "guardando" il circuito perché, a regime, il condensatore è come se fosse in parallelo ad un cortocircuito?
Effettivamente quell'aumento lineare di $ i_L $ è veramente inguardabile (iii).
Se non sbaglio, in un circuito RLC, tra induttore e condensatore dovrebbe verificarsi un "rimbalzo di energia" che porta ad avere delle oscillazioni smorzate (come quelle che si verificherebbero se avessimo una massa in moto attaccata ad una molla, entrambi immersi in un fluido). O ricordo male? (i)
Osservando di nuovo (e più attentamente) le relazioni ottenute dal circuito resistivo equivalente, ho che $ { ( i_C = -\frac{v_C}{5} - i_L + 1/5 ),( v_L = v_C ):} $ da cui deriviamo l'equazione di secondo ordine $ (3*10^-6)i_L'' + (2*10^-4)i_L' + i_L = 1/5 $ con le condizioni iniziali viste prima. Da qui, possiamo ottenere l'andamento di $i_L $ , che risulta $ i_L (t) = e^{-\frac{100}{3}t}{-\frac{1}{5}cos(\frac{100\sqrt{299}}{3}t) + 1.72 sin(\frac{100\sqrt{299}}{3}t)}+ 1/5 $ . Derivando e moltiplicando per $10^-3$ dovremmo poi ottenere la tensione ai capi del condensatore. Qui, se non ho fatto ancora una volta male i conti, ho che per $ t\rightarrow +infty $ la tensione ai capi del condensatore è nulla. Questo era deducibile "guardando" il circuito perché, a regime, il condensatore è come se fosse in parallelo ad un cortocircuito?
Ora direi vada già meglio, anche se non ho controllato i calcoli numerici; ma non facevi prima a scrivere l'equazione differenziale in vC, visto che è la grandezza richiesta? 
Volendo controllare, potresti provare a determinare gli autovalori anche con il metodo della somma delle impedenze o delle ammettenze.
Volendo controllare, potresti provare a determinare gli autovalori anche con il metodo della somma delle impedenze o delle ammettenze.
"RenzoDF":
Ora direi vada già meglio, anche se non ho controllato i calcoli numerici; ma non facevi prima a scrivere l'equazione differenziale in vC, visto che è la grandezza richiesta?
Volendo controllare, potresti provare a determinare gli autovalori anche con il metodo della somma delle impedenze o delle ammettenze.
Poi era troppo semplice
Con il metodo della somma delle impedenze abbiamo : $ Ls+ \frac{RZ_c}{R+Z_c} =\frac{3s^2 + 200s + 10^6}{10^3 (3s+200)}=0 $ e sembra che i poli coincidano con quelli trovati prima.
Gli stessi poli li avevamo incontrati quando è stato applicato il teorema di Millman.
Renzo, ti ringrazio tantissimo
Avrei alcune domande da farti a proposito dei trasformatori. Sei d'accordo? Potrei continuare qui di seguito, oppure sarebbe il caso di aprire un nuovo thread?
Mi inserisco nel topic con una domandona: in questo esercizio non è conveniente partire dal metodo 1 e fare l'antitrasformata della $V_c$ per tornare nel dominio del tempo?
"xh144fata":
... Potrei continuare qui di seguito, oppure sarebbe il caso di aprire un nuovo thread?
E' preferibile aprire un nuovo 3d.
Giusto una domanda: perché negli schemi postati hai cambiato il valore di C a 1mF?
"RenzoDF":
[quote="xh144fata"] ... Potrei continuare qui di seguito, oppure sarebbe il caso di aprire un nuovo thread?
E' preferibile aprire un nuovo 3d.
Giusto una domanda: perché negli schemi postati hai cambiato il valore di C a 1mF?[/quote]
Ho capito. Allora organizzo prima bene le cose che ho poco chiare e poi lo apro.
Perché ho riportato male il valore della traccia
nei conti fatti è stato usato il valore giusto.
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