Rect e delta di dirac
mi servirebbe capire a cosa equivalgono:
Y(f)=X(f)Z(f)
rect(f1/2)rect(f1/2)
e soprattutto
rect(f1/2)\delta((f-1/3))
Y(f)=X(f)Z(f)
rect(f1/2)rect(f1/2)
e soprattutto
rect(f1/2)\delta((f-1/3))
Risposte
a) dov'è la convoluzione?
b) il passaggio che hai fatto ha qualcosa di sbagliato (la delta in un prodotto semplice campiona il segnale)
b) il passaggio che hai fatto ha qualcosa di sbagliato (la delta in un prodotto semplice campiona il segnale)
si hai ragione
dunque Y(f) è l'uscita del sistema $X(f)=rect(f/b)$ e H(f)=alla parte di Z(f) tra parentesi quadre
dunque Y(f) è l'uscita del sistema $X(f)=rect(f/b)$ e H(f)=alla parte di Z(f) tra parentesi quadre
forse è meglio partire dalla radice:
quando mi trovo di fronte ad un $X(f)=rect(fT)\delta(f-1/2)$ cosa viene?
quando mi trovo di fronte ad un $X(f)=rect(fT)\delta(f-1/2)$ cosa viene?
mi servirebbe capire a cosa equivalgono:
Y(f)=X(f)Z(f)
$rect(f/2)rect(f/2)$
e soprattutto
$rect(f/2)\delta((f-1/3))$
Y(f)=X(f)Z(f)
$rect(f/2)rect(f/2)$
e soprattutto
$rect(f/2)\delta((f-1/3))$
Ok, ho capito, stai studiando la risposta di un sistema LTI in frequenza.
Hai detto che [tex]$X(f) = rect(\frac{f}{b})$[/tex] e che [tex]$H(f) = rect(\frac{f}{2}) + \delta(f - \frac{1}{3})$[/tex]
La trasformata dell'uscita risulta essere [tex]$Y(f) = X(f)H(f) = rect(\frac{f}{b}) \Bigl[rect(\frac{f}{2}) + \delta(f - \frac{1}{3})\Bigr ] = $[/tex]
Ora [tex]$rect(\frac{f}{2}) rect(\frac{f}{b})$[/tex] dipende da quanto vale [tex]$b$[/tex], infatti questi rappresentano due rettangoli centrati in $0$ uno largo [tex]2[/tex] e l'altro largo [tex]b[/tex], dunque il prodotto tra questi è quello più stretto.
[tex]$rect(\frac{f}{2}) \delta(f - \frac{1}{3})$[/tex] invece qui bisogna applicare la proprietà della delta di dirac, in un prodotto questa "campiona" il segnale che vi è moltiplicato nel punto in cui è centrata, in questo caso [tex]$rect(\frac{1/3}{2}) \delta(f - \frac{1}{3}) = rect(1/6)\delta(f - \frac{1}{3}) = \delta(f- \frac{1}{3})$[/tex]
Spero di aver interpretato correttamente il problema.
Hai detto che [tex]$X(f) = rect(\frac{f}{b})$[/tex] e che [tex]$H(f) = rect(\frac{f}{2}) + \delta(f - \frac{1}{3})$[/tex]
La trasformata dell'uscita risulta essere [tex]$Y(f) = X(f)H(f) = rect(\frac{f}{b}) \Bigl[rect(\frac{f}{2}) + \delta(f - \frac{1}{3})\Bigr ] = $[/tex]
Ora [tex]$rect(\frac{f}{2}) rect(\frac{f}{b})$[/tex] dipende da quanto vale [tex]$b$[/tex], infatti questi rappresentano due rettangoli centrati in $0$ uno largo [tex]2[/tex] e l'altro largo [tex]b[/tex], dunque il prodotto tra questi è quello più stretto.
[tex]$rect(\frac{f}{2}) \delta(f - \frac{1}{3})$[/tex] invece qui bisogna applicare la proprietà della delta di dirac, in un prodotto questa "campiona" il segnale che vi è moltiplicato nel punto in cui è centrata, in questo caso [tex]$rect(\frac{1/3}{2}) \delta(f - \frac{1}{3}) = rect(1/6)\delta(f - \frac{1}{3}) = \delta(f- \frac{1}{3})$[/tex]
Spero di aver interpretato correttamente il problema.
ska millegrazie per la chiarezza e precisione però non riesco ad adattarlo
al mio caso: $rect(f/T[j/2\delta(f-(T/2))-j/2\delta(f+(T/2))]$ perchè $=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$?
eppoi per ultima cosa sempre inerente perchè $Z(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)=$un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?
oddio sto diventando davvero pesante
al mio caso: $rect(f/T[j/2\delta(f-(T/2))-j/2\delta(f+(T/2))]$ perchè $=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$?
eppoi per ultima cosa sempre inerente perchè $Z(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)=$un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?
oddio sto diventando davvero pesante
"gaiaslide":
$rect(f/T[j/2\delta(f-(T/2))-j/2\delta(f+(T/2))]$
Se questa corrisponde a [tex]$rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]$[/tex] allora non può essere uguale a quanto dici tu
"gaiaslide":
$=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$
per avere questo risultato, ci deve essere una convoluzione tra il rect e le due delta!
"gaiaslide":
$Z(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)=$un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?
Qui non ho capito proprio la domanda, la prima parte stai finestrando i due rect larghi $T$ centrati in $\pm T/2$ con un rect centrato in zero largo $T$, da cui risultano due rect centrati in $\pm T/4$ larghi $T/2$
Mi sono spiegata male,nel primo caso non si tratta di calcolare l'uscita del sistema ma è una semplice trasformata Z(f) e il mio dubbio era sul secondo passaggio
mi sembra di aver fatto correttamente $Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$ perchè traslo il rettangolo di $\delta(f/T-(1/2)) ->rect(f/T+(1/2))$ok?
Qui invece si tratta di trovare l'uscita $Y(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)$
mi sembra di aver fatto correttamente $Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$ perchè traslo il rettangolo di $\delta(f/T-(1/2)) ->rect(f/T+(1/2))$ok?
"gaiaslide":
$Z(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)=$un rettangolo due impulsi in +-T=T/2 ?
Qui invece si tratta di trovare l'uscita $Y(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)$
No, la delta di dirac nel prodotto semplice non trasla, ma campiona $x(t)\delta(t-a) = x(a)\delta(t-a)$!
nel libro vi è scritto quel passaggio
non riesco a capire proprio perchè
non riesco a capire proprio perchè
Questa cosa è possibile solo se in mezzo c'è una convoluzione con una delta di dirac, infatti [tex]$x(t) * \delta(t-a) = x(t-a)$[/tex]
Intuitivamente [tex]$x(t) * \delta(t-a) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau -a)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta((t-a)-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-a)\delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a) \cdot 1$[/tex]
Come vedi all'interno dell'integrale è applicata la proprietà campionatrice della delta.
In maniera più formale, [tex]$\delta_a = \delta(x-a)$[/tex] è quella distribuzione definita come [tex]$<\delta_a,v> = v(a)\quad\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)$[/tex], da cui [tex]$\forall w \in C^{\infty}$[/tex] si ha che [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\quad = <\delta_a, wv> = (w\cdot v)(a) = $[/tex] da cui appunto si ricava [tex]$w(x)\delta(x-a) = w(a)\delta(x-a)$[/tex].
Intuitivamente [tex]$x(t) * \delta(t-a) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta(t-\tau -a)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\delta((t-a)-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t-a)\delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a)\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-\tau -a)d\tau = x(t-a) \cdot 1$[/tex]
Come vedi all'interno dell'integrale è applicata la proprietà campionatrice della delta.
In maniera più formale, [tex]$\delta_a = \delta(x-a)$[/tex] è quella distribuzione definita come [tex]$<\delta_a,v> = v(a)\quad\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)$[/tex], da cui [tex]$\forall w \in C^{\infty}$[/tex] si ha che [tex]$\forall v \in \mathcal{D}(\Omega)\quad
ok ska
il libro è un pò sbiadito mi sa che di mezzo cè lo zampino di una convoluzione.
ma se così fosse , tramite $x(t)*\delta(t-a)=x(t-a)$
non dovrebbe venire
$Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(T/2))+j/2rect(f/T+(T/2))$ ? invece che:
$Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$ ?
per quanto riguarda invece l'uscita $Y(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)$ ho notato dai grafici che la sua antitrasformata è composta da $[(sinpi\(T/2)t)/(pi t)]sen(pi\(t/2)t]$
il libro è un pò sbiadito mi sa che di mezzo cè lo zampino di una convoluzione.
ma se così fosse , tramite $x(t)*\delta(t-a)=x(t-a)$
non dovrebbe venire
$Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(T/2))+j/2rect(f/T+(T/2))$ ? invece che:
$Z(f)=rect(\frac{f}{T})\cdot [\frac{j}{2}\delta(f-\frac{T}{2})-\frac{j}{2}\delta(f+\frac{T}{2})]=-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))$ ?
per quanto riguarda invece l'uscita $Y(f)=[-j/2rect(f/T-(1/2))+j/2rect(f/T+(1/2))]rect(f/T)$ ho notato dai grafici che la sua antitrasformata è composta da $[(sinpi\(T/2)t)/(pi t)]sen(pi\(t/2)t]$
Se fosse un prodotto di convoluzione allora [tex]$rect(\frac{f}{T}) * \delta(f -\frac{T}{2}) = rect(\frac{f-\frac{T}{2}}{T}) = rect(\frac{f}{T} - \frac{1}{2})$[/tex]
L'antitrasformata mi sembra corretta.
L'antitrasformata mi sembra corretta.
perfetto!grazie ska per la chiarezza e la gentilezza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo