Punti vincolati a superfici lisce
Salve ragazzi,
Sto studiando la dinamica dei punti vincolati sulle superfici lisce.
Vi illustro il mio problema. Considerata una certa superficie $ sigma $ liscia definita da una funzione $ f $ , considero l'attrito dinamico A = 0.
Quindi la reazione vincolare si riduce a questa. $ phi=Phin $ . Considerando il modulo per il versore $ vec(N) $ , normale alla superficie, avremo:
$ phi=Phin = |Phin| *vec(N) $ .
Ecco cosa non capisco. Il libro dice che il versore $ vec(N) $ è parallelo a $ grad f $ e quindi esprime $ vec(N) $ come $ (grad f)/(|grad f|) $ .
Perchè il versore è uguale a quel rapporto?
Inoltre il gradiente di una funzione come può essere parallelo ad un versore normale alla superficie?
Grazie mille!
Sto studiando la dinamica dei punti vincolati sulle superfici lisce.
Vi illustro il mio problema. Considerata una certa superficie $ sigma $ liscia definita da una funzione $ f $ , considero l'attrito dinamico A = 0.
Quindi la reazione vincolare si riduce a questa. $ phi=Phin $ . Considerando il modulo per il versore $ vec(N) $ , normale alla superficie, avremo:
$ phi=Phin = |Phin| *vec(N) $ .
Ecco cosa non capisco. Il libro dice che il versore $ vec(N) $ è parallelo a $ grad f $ e quindi esprime $ vec(N) $ come $ (grad f)/(|grad f|) $ .
Perchè il versore è uguale a quel rapporto?
Inoltre il gradiente di una funzione come può essere parallelo ad un versore normale alla superficie?
Grazie mille!
Risposte
In algebra vettoriale un versore è uguale al vettore diviso il suo modulo.
Ciao Eddy167,
ti sei (quasi) già risposto
il vettore gradiente di una funzione ha proprio la proprietà di essere normale alla funzione nel punto calcolato, a seguire un immagine che puo aiutarti a visualizzare il concetto.
ti posso consigliare di adottare una funzione 'a caso' e testare tu stesso calcolandone il gradiente
a questo ci ha già pensato lui a risponderti.
Posso solo aggiungerti per esplicare maggiormente il concetto che, essendo un versore un vettore di modulo unitario (che e quindi identificativo di soli verso e direzione) ne discende che il versore di un vettore qualsiasi sia il vettore stesso "privato" del suo modulo, che a livello analitico corrisponde a dividere scalarmente il vettore per il suo modulo (cioe dividere ogni sua componente per il suo modulo).
"Eddy167":
Inoltre il gradiente di una funzione come può essere parallelo ad un versore normale alla superficie?
ti sei (quasi) già risposto
il vettore gradiente di una funzione ha proprio la proprietà di essere normale alla funzione nel punto calcolato, a seguire un immagine che puo aiutarti a visualizzare il concetto.
ti posso consigliare di adottare una funzione 'a caso' e testare tu stesso calcolandone il gradiente
"volaff":
In algebra vettoriale un versore è uguale al vettore diviso il suo modulo.
a questo ci ha già pensato lui a risponderti.
Posso solo aggiungerti per esplicare maggiormente il concetto che, essendo un versore un vettore di modulo unitario (che e quindi identificativo di soli verso e direzione) ne discende che il versore di un vettore qualsiasi sia il vettore stesso "privato" del suo modulo, che a livello analitico corrisponde a dividere scalarmente il vettore per il suo modulo (cioe dividere ogni sua componente per il suo modulo).
"Bibo90":
Ciao Eddy167,
[quote="Eddy167"]
Inoltre il gradiente di una funzione come può essere parallelo ad un versore normale alla superficie?
ti sei (quasi) già risposto
il vettore gradiente di una funzione ha proprio la proprietà di essere normale alla funzione nel punto calcolato, a seguire un immagine che puo aiutarti a visualizzare il concetto.
ti posso consigliare di adottare una funzione 'a caso' e testare tu stesso calcolandone il gradiente
"volaff":
In algebra vettoriale un versore è uguale al vettore diviso il suo modulo.
a questo ci ha già pensato lui a risponderti.
Posso solo aggiungerti per esplicare maggiormente il concetto che, essendo un versore un vettore di modulo unitario (che e quindi identificativo di soli verso e direzione) ne discende che il versore di un vettore qualsiasi sia il vettore stesso "privato" del suo modulo, che a livello analitico corrisponde a dividere scalarmente il vettore per il suo modulo (cioe dividere ogni sua componente per il suo modulo).
[/quote]Grazie mille per la risposta!
Nel frattempo mi sono imbattuto in un nuovo problema.
Riguarda il baricentro di un sistema discreto.
Il baricentro si può pensare come il centro di un sistema di vettori applicati paralleli, concordi e di modulo proporzionale alle masse, applicati nei punti del sistema. ( Secondo me c'è qualche errore nella spiegazione dei miei appunti, vedete un pò voi).
Considerando il sistema di vettori applicati: $ (P i,m i, vec(g) ) $ il centro si calcola con la classica formula del centro:
Adesso applichiamo il teorema fondamentale di riducibilità del sistema di vettori applicati. Per farlo calcoliamo il risultante.
$ R=sum_(i = 1\ldots n) mig = mg != 0 $
Quindi: $ (P i, mig)~= [(G,Mg), K: M(k)=vec(0) ] $ Adesso negli appunti è indicato che il momento di k è uguale a 0 poichè siamo in un sistema di vettori applicati paralleli.
Ma in un sistema di vettori applicati paralleli il momento polare non è nullo... lo è l'invariante infatti $ R * Mp = 0= I $
Ecco cosa non capisco...
Inoltre non ho ben capito quale sia il vettore interessato per il calcolo del baricentro. Dalla formula che ho postato tramite l'immagine, il vettore coinvolto sembra la massa, ma la massa non è una grandezza scalare?
Grazie mille a tutti!
Attenzione che non è vero che il gradiente di una funzione è ortogonale alla funzione stessa. Ciò che è vero è che il gradiente è ortogonale alle superfici di livello di una funzione, che è diverso. Se $phi:RR^3->RR$ è un campo scalare, allora una superficie di livello di $phi$ è la superficie $phi(x,y,z)=c$ e il gradiente $gradphi$ è ortogonale a questa superficie in ogni suo punto.
Riguardo alla seconda domanda, apri un altro topic
Riguardo alla seconda domanda, apri un altro topic
"Vulplasir":
Attenzione che non è vero che il gradiente di una funzione è ortogonale alla funzione stessa. Ciò che è vero è che il gradiente è ortogonale alle superfici di livello di una funzione, che è diverso. Se $phi:RR^3->RR$ è un campo scalare, allora una superficie di livello di $phi$ è la superficie $phi(x,y,z)=c$ e il gradiente $gradphi$ è ortogonale a questa superficie in ogni suo punto.
Riguardo alla seconda domanda, apri un altro topic
Una superficie di livello è del tipo $ x^2+y^2+z^2+3x+5y+2z=3 $ e se calcolo il gradiente di questa funzione, esso sarà ortogonale a quest'ultima in ogni suo punto?
Per quanto riguarda l'altra domanda, aprirò un nuovo topic.
Grazie
"Vulplasir":
Attenzione che non è vero che il gradiente di una funzione è ortogonale alla funzione stessa. Ciò che è vero è che il gradiente è ortogonale alle superfici di livello di una funzione, che è diverso. Se $ phi:RR^3->RR $ è un campo scalare, allora una superficie di livello di $ phi $ è la superficie $ phi(x,y,z)=c $ e il gradiente $ gradphi $ è ortogonale a questa superficie in ogni suo punto.
Grazie per la correzione
Purtroppo non sono un matematico (tantomeno un analista) e queste dritte mi sono sicuramente utili
Tuttavia c'è una cosa che non mi è chiara nella definizione che hai dato e sono felice se mi dai una delucidazione;
nella meccanica razionale spesso capita di dover trovare la normale ad una traiettoria (spesso in 2D) descritta anche come funzione $f: RR -> RR$.
Sia $y=f(x)$ per trovare la normale come sappiamo puo farsi $hat(n)=(grad(f(x)-y))/(abs(grad(f(x)-y)))$
ma quindi in questo caso la curva di livello equivale a $f(x)-y=0$ ?
Per quanto sapevo io (in modo sicuramente limitato) le curve o superfici di livello erano definiti in spazi $RR^n$ con n>2, come quel luogo di punti dove la funzione $RR^n->RR$ rimaneva costante.
Ciò significa che nel momento in cui facciamo quella operazione in realtà studiamo la curva di livello di una superficie $g=g(x,y)$ ed in particolare quella dove la funzione g è nulla?
riesci a chiarirmi questo dubbio?
Premetto che non sono un matematico neanche io, quindi non sarà rigorosissimo.
Una equazione del tipo $y=f(x)$ non è altro che una curva di livello del campo scalare $phi(x,y)=y-f(x)$, ossia la curva di livello data da $phi(x,y)=0$, quindi per trovare il versore normale si usa quella formula che hai scritto tu, dato che appunto il gradiente di $phi$ è ortogonale alle superficie di livello di $phi$.
Nota come il testo del problema originario posto da Eddy167 dica: "Considerata una certa superficie $σ$ liscia definita da una funzione $f$".
Ossia la superficie su cui si lavora è definita da una funzione $f$ nella maniera $f(x,y,z)=c$, quindi per trovare la normale a $sigma$, essendo $sigma$ una superficie di livello di f, bisogna calcolare il gradiente di f, proprio come viene fatto nel problema.
Una equazione del tipo $y=f(x)$ non è altro che una curva di livello del campo scalare $phi(x,y)=y-f(x)$, ossia la curva di livello data da $phi(x,y)=0$, quindi per trovare il versore normale si usa quella formula che hai scritto tu, dato che appunto il gradiente di $phi$ è ortogonale alle superficie di livello di $phi$.
Nota come il testo del problema originario posto da Eddy167 dica: "Considerata una certa superficie $σ$ liscia definita da una funzione $f$".
Ossia la superficie su cui si lavora è definita da una funzione $f$ nella maniera $f(x,y,z)=c$, quindi per trovare la normale a $sigma$, essendo $sigma$ una superficie di livello di f, bisogna calcolare il gradiente di f, proprio come viene fatto nel problema.
Le superfici di livello sono definite per campi scalari da $RR^n$ in $RR$, con $n>=2$ come il luogo dei punti in cui f assume valore costante. Per sempio la circonferenza $x^2+y^2=4$ è la curva di livello del campo $phi(x,y)=x^2+y^2$ tale che $phi(x,y)=4$
okok allora ho capito correttamente quello che avevi detto!
tuttavia intendavamo la stessa cosa (probabilmente sono un po arrugginito con certe definizioni di analisi
), solo che intendevo il gradiente della funzione in forma parametrica (spesso leggo [come nell'immagine che avevo postato] "...funzione $f(x,y)=0$" riferito alla funzione in forma parametrica, quindi per gradiente della funzione intendevo $gradf(x,y)$, anche se capisco che essendo y variabile dipendente da x la funzione sia $f(x)$)
Sicuramente come lo hai espresso tu è indubbiamente piu corretto, pero in certi contesti è difficile trovargli un interpretazione fisica. Faccio un paio di esempi, uno dove quanto hai detto calza a pennello e una dove mi sono perso qualcosa:
Gradiente termico: qui quanto hai detto riesco a trovargli un significato fisico ben chiaro avendo un campo scalare $temperatura=temperatura(x,y,z)$, quindi $RR^3->RR$, ed il gradiente termico fornisce la direzione ed il verso del vettore flusso termico specifico(Legge di Fourier sulla conduzione).
Traiettoria: Mettiamo che dobbiamo eseguire uno studio cinematico di un punto materiale vincolato a mantenere come traiettoria quella di un elicoide ( e quindi dobbiamo descrivere le azioni inerziali e per questo ci serve il versore normale alla traiettoria ), descritto quindi da una funzione del tipo $f(x,y,z)=0$ in forma parametrica. Se tale funzione risulta essere una superficie di livello di una funzione del tipo $f=f(x,y,z)$ (dove attenzione f dovrebbe essere scalare, ovvero $RR^3->RR$, e quindi definisce un campo scalare), ed in particolare quella dove $f=0$, che cos'è il campo scalare a cui fai riferimento??
In sostanza capisco che quanto avevo detto era fuorviante e formalmente errato, perchè preso letteralmente il gradiente di una funzione $f(x)$ un lettore capisce $(partial f)/(partial x)hat(i)$, e non $gradf(x,y)$, ma se nel caso del gradiente termico il campo scalare non è altro che la distribuzione di temperatura nello spazio, nel caso della traiettoria il campo cos'è?
E' solo un mezzo matematico atto a tale operazione o ha un senso fisico ben chiaro?
tuttavia intendavamo la stessa cosa (probabilmente sono un po arrugginito con certe definizioni di analisi
), solo che intendevo il gradiente della funzione in forma parametrica (spesso leggo [come nell'immagine che avevo postato] "...funzione $f(x,y)=0$" riferito alla funzione in forma parametrica, quindi per gradiente della funzione intendevo $gradf(x,y)$, anche se capisco che essendo y variabile dipendente da x la funzione sia $f(x)$)Sicuramente come lo hai espresso tu è indubbiamente piu corretto, pero in certi contesti è difficile trovargli un interpretazione fisica. Faccio un paio di esempi, uno dove quanto hai detto calza a pennello e una dove mi sono perso qualcosa:
Gradiente termico: qui quanto hai detto riesco a trovargli un significato fisico ben chiaro avendo un campo scalare $temperatura=temperatura(x,y,z)$, quindi $RR^3->RR$, ed il gradiente termico fornisce la direzione ed il verso del vettore flusso termico specifico(Legge di Fourier sulla conduzione).
Traiettoria: Mettiamo che dobbiamo eseguire uno studio cinematico di un punto materiale vincolato a mantenere come traiettoria quella di un elicoide ( e quindi dobbiamo descrivere le azioni inerziali e per questo ci serve il versore normale alla traiettoria ), descritto quindi da una funzione del tipo $f(x,y,z)=0$ in forma parametrica. Se tale funzione risulta essere una superficie di livello di una funzione del tipo $f=f(x,y,z)$ (dove attenzione f dovrebbe essere scalare, ovvero $RR^3->RR$, e quindi definisce un campo scalare), ed in particolare quella dove $f=0$, che cos'è il campo scalare a cui fai riferimento??
In sostanza capisco che quanto avevo detto era fuorviante e formalmente errato, perchè preso letteralmente il gradiente di una funzione $f(x)$ un lettore capisce $(partial f)/(partial x)hat(i)$, e non $gradf(x,y)$, ma se nel caso del gradiente termico il campo scalare non è altro che la distribuzione di temperatura nello spazio, nel caso della traiettoria il campo cos'è?
E' solo un mezzo matematico atto a tale operazione o ha un senso fisico ben chiaro?
Innanzitutto partiamo dal fatto che una funzione viene definita a prescindere dal suo grafico, esistono per esempio funzioni che non sono nemmeno rappresentabili graficamente, ma a noi non interessano questi casi.
Una funzione reale di variabile reale(da RR in RR) manda una $x in RR$ in $f(x)inRR$, si può quindi decidere di rappresentare il valore restituito da f(x) sull'asse y, quindi si scrive $y=f(x)$. Pertanto, per rappresentare graficamente una funzione scalare in una sola variabile, abbiamo bisogno del piano xy.
Consideriamo adesso una funzione scalare di due variabili $f(x,y)$, essa manda (x,y) in $f(x,y)in RR$, dato quindi che f(x,y) restituisce valore reale, si può rappresentare tale valore sull'asse z e scrivere quindi $z=f(x,y)$. Pertanto per rappresentare graficamente una funzione scalare di due variabili abbiamo bisogno dello spazio tridimensionale xyz.
Andando quindi avanti, per rappresentare graficamente una funzione f(x,y,z) avremmo bisogno di una quarta variabile, quindi per rappresentare graficamente una funzione di 3 variabili ci vorrebbe un "iperspazio" a 4 dimensioni, cosa che chiaramente non è intuibile dalla nostra mente che funziona in 3 dimensioni, pertanto una funzione con 3 oppure più variabili non è rappresentabile graficamente e quindi è difficile se non impossibile rispondere alla tua domanda: "se nel caso del gradiente termico il campo scalare non è altro che la distribuzione di temperatura nello spazio, nel caso della traiettoria il campo cos'è?".
Per ottenere una superficie di livello (che è una curva in questo caso) di f(x,y) bisogna "tagliare" il grafico di f(x,y) con piano ortogonali all'asse z, l'equazione di questa curva sarà $f(x,y)=c$ dato che è il luogo dei punti che si trovano sulla curva e sul piano $z=c$. Non ha particolare significato la funzione f(x,y), essa serve solo a definire la curva su cui si trova il punto materiale che ci interessa. Nel caso di funzione f(x,y,z), per ottenere una superficie di livello dovremmo tagliare il grafico di f con uno "spazio", e ti rendi conto che questa cosa non ha alcun significato per noi che non possiamo figurarci più di 3 dimensioni, quindi $f(x,y,z)=c$ rappresenta una particolare superficie di livello del campo scalare f(x,y,z), ma chiaramente questo campo scalare non ha, in generale, alcun significato proprio, se non quello di definire la superficie che ci interessa (nel caso della temperatura chiaramente assume un ben chiaro significato, ma nel caso di una particella che si muove su una traiettoria è solo un formalismo per determinare la superficie in cui si muove la particella, niente di più).
Non esistono funzione "in forma parametrica", f(x,y)=0 per esempio NON è una funzione né tantomeno una possibile rappresentazione di una funzione, è appunto una curva, cioè tutto l'insieme "f(x,y)=0" è una curva, ma f(x,y) è una funzione. Leggi bene l'immagine che hai postato, anche li è scritto "sia f(x,y)=0 una curva"
In pratica quindi posso concludere che:
E' solo un mezzo matematico.
Una funzione reale di variabile reale(da RR in RR) manda una $x in RR$ in $f(x)inRR$, si può quindi decidere di rappresentare il valore restituito da f(x) sull'asse y, quindi si scrive $y=f(x)$. Pertanto, per rappresentare graficamente una funzione scalare in una sola variabile, abbiamo bisogno del piano xy.
Consideriamo adesso una funzione scalare di due variabili $f(x,y)$, essa manda (x,y) in $f(x,y)in RR$, dato quindi che f(x,y) restituisce valore reale, si può rappresentare tale valore sull'asse z e scrivere quindi $z=f(x,y)$. Pertanto per rappresentare graficamente una funzione scalare di due variabili abbiamo bisogno dello spazio tridimensionale xyz.
Andando quindi avanti, per rappresentare graficamente una funzione f(x,y,z) avremmo bisogno di una quarta variabile, quindi per rappresentare graficamente una funzione di 3 variabili ci vorrebbe un "iperspazio" a 4 dimensioni, cosa che chiaramente non è intuibile dalla nostra mente che funziona in 3 dimensioni, pertanto una funzione con 3 oppure più variabili non è rappresentabile graficamente e quindi è difficile se non impossibile rispondere alla tua domanda: "se nel caso del gradiente termico il campo scalare non è altro che la distribuzione di temperatura nello spazio, nel caso della traiettoria il campo cos'è?".
Per ottenere una superficie di livello (che è una curva in questo caso) di f(x,y) bisogna "tagliare" il grafico di f(x,y) con piano ortogonali all'asse z, l'equazione di questa curva sarà $f(x,y)=c$ dato che è il luogo dei punti che si trovano sulla curva e sul piano $z=c$. Non ha particolare significato la funzione f(x,y), essa serve solo a definire la curva su cui si trova il punto materiale che ci interessa. Nel caso di funzione f(x,y,z), per ottenere una superficie di livello dovremmo tagliare il grafico di f con uno "spazio", e ti rendi conto che questa cosa non ha alcun significato per noi che non possiamo figurarci più di 3 dimensioni, quindi $f(x,y,z)=c$ rappresenta una particolare superficie di livello del campo scalare f(x,y,z), ma chiaramente questo campo scalare non ha, in generale, alcun significato proprio, se non quello di definire la superficie che ci interessa (nel caso della temperatura chiaramente assume un ben chiaro significato, ma nel caso di una particella che si muove su una traiettoria è solo un formalismo per determinare la superficie in cui si muove la particella, niente di più).
tuttavia intendavamo la stessa cosa (probabilmente sono un po arrugginito con certe definizioni di analisi
Non esistono funzione "in forma parametrica", f(x,y)=0 per esempio NON è una funzione né tantomeno una possibile rappresentazione di una funzione, è appunto una curva, cioè tutto l'insieme "f(x,y)=0" è una curva, ma f(x,y) è una funzione. Leggi bene l'immagine che hai postato, anche li è scritto "sia f(x,y)=0 una curva"
In pratica quindi posso concludere che:
nel caso della traiettoria il campo cos'è?
E' solo un mezzo matematico atto a tale operazione o ha un senso fisico ben chiaro?
E' solo un mezzo matematico.
Si per equazione in forma parametrica intendevo curva.. o luogo di punti.. purtroppo dopo svariati anni che sono passati gli esami di analisi certi formalismi li perdi.. cio che rimane e solo descrive un modello tramite strumenti matematici e il significato di quello che si fa.. ma una ripassata non fa mai male
Non ho mai detto che una funzione e definita dalla sua rappresentazione grafica, e comunque se pensi anche solo all esempio citato del gradiente di temperatura , ma come anche ad un gradiente di tensione o di deformazione etc... si puo rappresentare graficamente con delle scale cromatiche (un esempio la rappresentazione grafica classica delle analisi fem). Anche nel caso della traiettoria se avesse un significato fisico si potrebbe rappresentare ma anche tu concordi che non ce l ha e che quindi funge come solo strumento matematico.
Alla fine abbiamo sostanzialmente detto le stesse cose e non posso fare altro che concordare.
Ti ringrazio per l interessante discussione e per il tuo tempo!
Non ho mai detto che una funzione e definita dalla sua rappresentazione grafica, e comunque se pensi anche solo all esempio citato del gradiente di temperatura , ma come anche ad un gradiente di tensione o di deformazione etc... si puo rappresentare graficamente con delle scale cromatiche (un esempio la rappresentazione grafica classica delle analisi fem). Anche nel caso della traiettoria se avesse un significato fisico si potrebbe rappresentare ma anche tu concordi che non ce l ha e che quindi funge come solo strumento matematico.
Alla fine abbiamo sostanzialmente detto le stesse cose e non posso fare altro che concordare.
Ti ringrazio per l interessante discussione e per il tuo tempo!
Ma infatti non ho detto che tu hai detto che una funzione è definita dal suo grafico, era solo per cominciare il mio discorso sul fatto che per rappresentare una funzione in n variabili servono n+1 dimensioni
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