Pseudo-Tensore d'inerzia
Ciao a tutti, sono nuovo del forum quindi perdonate qualche imperfezione.
Il problema si basa su un robot seriale nel calcolo della dinamica inversa per la determinazione delle coppie dei motori, più nello specifico con il calcolo dello PSEUDO-TENSORE D'INERZIA.
In pratica uno dei bracci è a forma di L ribaltata e voglio calcolarne lo Pseudo-Tensore rispetto al punto centrale della base.
Molto semplicemente, come voi saprete le componenti del tensore (che è diagonale in quanto la terna scelta ha gli assi coordinati ortogonali ed è una matrice simmetrica 3x3) sono date dall'integrale in dm di (x^2+y^2) per quanto riguarda Ix, (z^2+x^2) per quanto riguarda Iy e (x^2+y^2) per quanto riguarda Iz.
Lo PSEUDO-Tensore d'inerzia invece (che è una matrice 4x4 dove le componenti dell'ultima colonna e dell' ultima riga identificano la massa per la distanza al quadrato della terna scelta rispetto al baricentro del corpo) ha come componenti sulla diagonale l'integrale in dm di x^2 per quanto riguarda Ix, di y^2 per quanto riguarda Iy e di z^2 per quanto riguarda Iz.
Le componenti del Tensore sono legate a quelle dello Pseudo-tensore da semplici formule.
Io ho scomposto la figura in due rettangoli, ho calcolato i momenti d'inerzia baricentrici dei due corpi (rispetto ai tre assi), ho usato il teorema di Huygens per riportarli nel punto centrale della base della L ribaltata e poi con le semplici formule (che sopra non ho scritto per non dilungarmi) le ho convertite nelle componenti dello Pseudo-Tensore.
Il problema è che sono sicuro che posso calcolare direttamente le componenti dello Pseudo-Tensore senza passare dai momenti "comuni" d'inerzia e dalle formule di conversione (Tensore--->Pseudo) perchè voglio ottimizzare il software che ne fa il calcolo ma non riesco a farlo perchè non so se vale il teorema di Huygens anche per le componenti dello pseudo.
Se dovesse valere il problema sarebbe risolto.
Chi fosse in grado di decifrare quello che ho scritto e di capire il problema che è banalissimo per uno che ha manualità mi farebbe un grosso favore, se ne sarò in grado un giorno sarei orgoglioso di risolverne io uno a lui.
Il problema si basa su un robot seriale nel calcolo della dinamica inversa per la determinazione delle coppie dei motori, più nello specifico con il calcolo dello PSEUDO-TENSORE D'INERZIA.
In pratica uno dei bracci è a forma di L ribaltata e voglio calcolarne lo Pseudo-Tensore rispetto al punto centrale della base.
Molto semplicemente, come voi saprete le componenti del tensore (che è diagonale in quanto la terna scelta ha gli assi coordinati ortogonali ed è una matrice simmetrica 3x3) sono date dall'integrale in dm di (x^2+y^2) per quanto riguarda Ix, (z^2+x^2) per quanto riguarda Iy e (x^2+y^2) per quanto riguarda Iz.
Lo PSEUDO-Tensore d'inerzia invece (che è una matrice 4x4 dove le componenti dell'ultima colonna e dell' ultima riga identificano la massa per la distanza al quadrato della terna scelta rispetto al baricentro del corpo) ha come componenti sulla diagonale l'integrale in dm di x^2 per quanto riguarda Ix, di y^2 per quanto riguarda Iy e di z^2 per quanto riguarda Iz.
Le componenti del Tensore sono legate a quelle dello Pseudo-tensore da semplici formule.
Io ho scomposto la figura in due rettangoli, ho calcolato i momenti d'inerzia baricentrici dei due corpi (rispetto ai tre assi), ho usato il teorema di Huygens per riportarli nel punto centrale della base della L ribaltata e poi con le semplici formule (che sopra non ho scritto per non dilungarmi) le ho convertite nelle componenti dello Pseudo-Tensore.
Il problema è che sono sicuro che posso calcolare direttamente le componenti dello Pseudo-Tensore senza passare dai momenti "comuni" d'inerzia e dalle formule di conversione (Tensore--->Pseudo) perchè voglio ottimizzare il software che ne fa il calcolo ma non riesco a farlo perchè non so se vale il teorema di Huygens anche per le componenti dello pseudo.
Se dovesse valere il problema sarebbe risolto.
Chi fosse in grado di decifrare quello che ho scritto e di capire il problema che è banalissimo per uno che ha manualità mi farebbe un grosso favore, se ne sarò in grado un giorno sarei orgoglioso di risolverne io uno a lui.
Risposte
"marena":
.....In pratica uno dei bracci è a forma di L ribaltata e voglio calcolarne lo Pseudo-Tensore rispetto al punto centrale della base.
E già qui si capisce poco...che cosa vuol dire " L ribaltata" ? Vuol dire "ruotata" nel piano? E quale piano?
Insomma, visto che poi passi a calcolare i momenti di inerzia rispetto a tre assi cartesiani, potresti precisare come è disposto questo braccio a L rispetto ai tre assi?
Molto semplicemente, come voi saprete le componenti del tensore (che è diagonale in quanto la terna scelta ha gli assi coordinati ortogonali ed è una matrice simmetrica 3x3) sono date dall'integrale in dm di (x^2+y^2) per quanto riguarda Ix, (z^2+x^2) per quanto riguarda Iy e (x^2+y^2) per quanto riguarda Iz.
Ti faccio notare che un tensore di inerzia, rispetto ad un punto di un corpo, è diagonale se i tre assi sono "principali di inerzia" per quel punto, e quindi i tre prodotti di inerzia sono nulli. Non è diagonale per i motivi che descrivi tu. Gli assi sono ortogonali, e la matrice di inerzia è simmetrica, anche se non si tratta di assi principali di inerzia.
Io continuo a non capire come hai scelto l'origine e gli assi rispetto alla leva ad L.Credo che il primo rebus da sciogliere sia questo.
Lo PSEUDO-Tensore d'inerzia invece (che è una matrice 4x4 dove le componenti dell'ultima colonna e dell' ultima riga identificano la massa per la distanza al quadrato della terna scelta rispetto al baricentro del corpo) ha come componenti sulla diagonale l'integrale in dm di x^2 per quanto riguarda Ix, di y^2 per quanto riguarda Iy e di z^2 per quanto riguarda Iz.
non conosco lo pseudo-tensore di inerzia, ma mi sembra comunque che anche qui ci siano dei semplici termini di trasporto: prodotti di massa per distanze al quadrato.
....Chi fosse in grado di decifrare quello che ho scritto e di capire il problema che è banalissimo per uno che ha manualità mi farebbe un grosso favore, se ne sarò in grado un giorno sarei orgoglioso di risolverne io uno a lui.
Proprio qui sta il problema: decifrare. Tu prova comunque prima a chiarire quello che ti ho detto.
Si, lo so che si capisce poco..
Ho allegato la L ribaltata nell'immagine sotto.
Come calcoleresti il tensore rispetto ai tre assi (che sono nel centro della base) disegnati?
Ho allegato la L ribaltata nell'immagine sotto.
Come calcoleresti il tensore rispetto ai tre assi (che sono nel centro della base) disegnati?
Lo calcolerei scomponendo il solido in due parallelepipedi, come hai fatto tu ( se ho ben capito ciò che hai scritto nel precedente post), e applicando il teorema del trasporto come e dove necessario.
Dall'esame della figura, vedo un solo piano di simmetria, il piano $Oxz$. Per cui il momento centrifugo $I_(xz)$ dovrebbe essere nullo, se non erro. Ma la terna data non è principale di inerzia per $O$ ( cioè per l'origine delle coordinate).
Il cdm del solido giace su questo piano ovviamente, cioè $y_G = 0$. Per calcolare le coordinate del cdm, basta che proietti la $L$ sul piano $Oxz$ , e consideri due rettangoli.
Dall'esame della figura, vedo un solo piano di simmetria, il piano $Oxz$. Per cui il momento centrifugo $I_(xz)$ dovrebbe essere nullo, se non erro. Ma la terna data non è principale di inerzia per $O$ ( cioè per l'origine delle coordinate).
Il cdm del solido giace su questo piano ovviamente, cioè $y_G = 0$. Per calcolare le coordinate del cdm, basta che proietti la $L$ sul piano $Oxz$ , e consideri due rettangoli.
Grazie mille della collaborazione.
Dovrei comunque avere risolto il problema.
Dovrei comunque avere risolto il problema.
Mi è venuto il dubbio: come faccio a calcolare i momenti centrifughi di questa figura rispetto a quella terna?
Risolto.
Comunque grazie ancora per avermi fatto notare la non diagonalità della matrice, ho interpretato male il teorema che avevo appena letto.
Comunque grazie ancora per avermi fatto notare la non diagonalità della matrice, ho interpretato male il teorema che avevo appena letto.
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