PSD di un processo stocastico [risolto]

[raff5184]

non ho capito il termine cerchiato di rosso cos'è, a cosa è uguale. Come si esplicita rispetto alle $X_(T_i)(f)$?

http://www.raff5184.altervista.org/psd.JPG

[Kroldar]

Questo libro lo conosco... è il Proakis-Salehi!!
Il termine cerchiato in rosso è il modulo quadro della trasformata di Fourier della generica funzione membro $x_T(t,omega_i)$. Ovviamente, il segnale $x_T(t,omega_i)$ non è una funzione deterministica del tempo, ma dipende anche da $omega_i$ (oltre che da $t$). Per eliminare la dipendenza da $omega_i$ se ne considera la media statistica.
Ricapitolando, il principio è questo: un processo aleatorio può essere visto (in una delle sue forme) come un'insieme di segnali deterministici, di ogni segnale posso calcolare la densità spettrale di potenza ottenendo una variabile aleatoria, di quest'ultima posso infine calcolare la media statistica.

[raff5184]

"Kroldar":Questo libro lo conosco... è il Proakis-Salehi

sissi proprio lui!:lol: Communication Systems Engineering

"Kroldar":
Il termine cerchiato in rosso è il modulo quadro della trasformata di Fourier della generica funzione membro $x_T(t,omega_i)$

e allora $X_(T_i)(f)$ cos'è?

[raff5184]

"Kroldar": Ovviamente, il segnale $x_T(t,omega_i)$ non è una funzione deterministica del tempo, ma dipende anche da $omega_i$ (oltre che da $t$)

ma all'inizio del capitolo dice:per ogni $omega_i$ esiste una funzione del tempo DETERMINISTICA $x(t,omega_i)$ che è chiamata "sample function", o "realization". Quando fa riferimento all'interpretazione aleatoria parla di $X(t)$

[elgiovo]

"raff5184": e allora $X_(T_i)(f)$ cos'è?

E' la trasformata di Fourier di una realizzazione "troncata" del processo. Sai che questa trasformata esiste perchè grazie al troncamento $int_(-oo)^(oo)|x_T(t,omega_i)|dt

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[elgiovo]

"raff5184":[quote="Kroldar"] Ovviamente, il segnale $x_T(t,omega_i)$ non è una funzione deterministica del tempo, ma dipende anche da $omega_i$ (oltre che da $t$)

ma all'inizio del capitolo dice:per ogni $omega_i$ esiste una funzione del tempo DETERMINISTICA $x(t,omega_i)$ che è chiamata "sample function", o "realization". Quando fa riferimento all'interpretazione aleatoria parla di $X(t)$[/quote]

Una volta fissato l'evento $omega_i$ (perchè suppongo che si tratti di un evento facente parte di uno spazio campione) il processo $X(t)$ assume una forma deterministica. Prendi ad esempio il processo parametrico $Y(t)=cos(omega_0t+phi)$, dove $phi$ è una v.a. $ccU(0,2pi)$. Se si sa che, per esempio, $phi=pi/3$, la realizzazione corrispondente del processo è il segnale deterministico $y(t;pi/3)=cos(omega_0t+pi/3)$.

[raff5184]

"elgiovo":[quote="raff5184"] e allora $X_(T_i)(f)$ cos'è?

E' la trasformata di Fourier di una realizzazione "troncata" del processo. Sai che questa trasformata esiste perchè grazie al troncamento $int_(-oo)^(oo)|x_T(t,omega_i)|dt

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[raff5184]

"elgiovo":Una volta fissato l'evento $omega_i$ (perchè suppongo che si tratti di un evento facente parte di uno spazio campione)

esatto

"elgiovo":il processo $X(t)$ assume una forma deterministica.

non sono convinto perché il libro dice: ad ogni istante $t_0$ e per ogni $omega_i$ abbiamo il numero $x(t_0;omega_i)$. Per i diversi $omega_i$ fissato $t_0$, il numero $x(t_0;omega_i)$ è una variabile aleatoria che indichiamo con $X(t_0)$.[...] dunque il processo aleatorio può essere visto come una collezione di variabili aleatorie ${X(t_1), X(t_2)...}$ o più in generale ${X(t), tinRR}$

[elgiovo]

Fissando $omega_i$ ottieni un segnale deterministico. Fissando $t_0$ (ma non $omega_i$) ottieni una v.a., precisamente $X(t_0,omega_i)$, che può assumere, al variare di $omega_i$, il valore in $t_0$ delle varie realizzazioni del processo. Fissando sia $t_0$ che $omega_i$ (lo chiamo $omega_(i_f)$) ottieni il valore numerico $X(t_0;omega_(i_f))$, ovvero il valore del segnale deterministico $X(t;omega_(i_f))$ in $t_0$. Dunque puoi vedere il processo come una v.a. dipendente dal tempo.

[raff5184]

ok, sono un pò più convinto. Ma tornando al problema iniziale... $X_(T_i)(f)$ è la trasformata di F. della generica, i-ma, realizzazione. In rosso è cerchiato $X_(T)(f)$ senza pedice i. Da quanto detto al rigo precedente $|X_(T)(f)|^2$ a me sembra un'energia media rispetto alle $X_(T_i)(f)$ o mi sbaglio?

[elgiovo]

Il pedice è stato tolto perchè si è passati al valore atteso. E' sottinteso, ma $E[cdot]$ è $E_i[cdot]$, o ancora meglio $E_(omega_i)[cdot]$. Senza pedice, $X_T(f)$ è un processo aleatorio.

[raff5184]

scusa ancora, cosi forse capisco meglio, ma che differenza c'è tra $S_(x_i)(f)$ e $S_X(f)$, nota la differenza maiuscole-minuscole.

[Kroldar]

"raff5184":scusa ancora, cosi forse capisco meglio, ma che differenza c'è tra $S_(x_i)(f)$ e $S_X(f)$, nota la differenza maiuscole-minuscole.

La differenza tra maiuscole e minuscole risiede nel fatto che $x_i$ (espressione sintetica di $x(t,omega_i)$) è una funzione membro, avendo fissato $omega_i$, mentre $X$ è il processo aleatorio in sé.
Se fisso uno specifico $omega_i$ e calcolo la densità spettrale di potenza del segnale deterministico ottenuto, ottengo $S_(x_i)(f)$.
Ma io voglio un qualcosa che descriva tutto il processo aleatorio, dunque indipendente dalla funzione membro; per ottenerlo, faccio la media statistica e mi rendo indipendente da $omega_i$ e ciò che trovo lo chiamo $S_X(f)$.

[raff5184]

"Kroldar":La differenza tra maiuscole e minuscole risiede nel fatto che $x_i$ (espressione sintetica di $x(t,omega_i)$) è una funzione membro, avendo fissato $omega_i$, mentre $X$ è il processo aleatorio in sé.
Se fisso uno specifico $omega_i$ e calcolo la densità spettrale di potenza del segnale deterministico ottenuto, ottengo $S_(x_i)(f)$.
Ma io voglio un qualcosa che descriva tutto il processo aleatorio, dunque indipendente dalla funzione membro; per ottenerlo, faccio la media statistica e mi rendo indipendente da $omega_i$ e ciò che trovo lo chiamo $S_X(f)$.

ok quasi tutto chiaro, sono d'accordo con le vostre risposte. Solo, quando mi parli di media statistica a quale segnale ti riferisci?

Allora perché Elgiovo dice che la media è una $E_(omega_i)$, se a noi invece serve una caratterizzazione di tutto il processo?
scusate se vi sto stressando

[Kroldar]

"raff5184":
ok quasi tutto chiaro, sono d'accordo con le vostre risposte. Solo, quando mi parli di media statistica a quale segnale ti riferisci?

Fisso un certo $omega_i$ (fissare $omega_i$ vuol dire fissare la funzione membro), ottengo un segnale deterministico, lo trasformo e calcolo infine la sua densità spettrale di potenza (che è ovviamente funzione di $f$).
Poi fisso un altro $omega_i$... posso ripetere quanto fatto prima. E così via per ogni $omega_i$.
Al variare di $omega_i$, dunque, ottengo tante densità spettrali di potenza (ogni densità spettrale di potenza, sottolineo, è funzione di $f$).
Non so che farmene di tutte queste densità spettrali di potenza, perché io ne vorrei una sola che mi dia un'informazione globale sul processo aleatorio (ovvero un'informazione globale che non dipenda dalla specifica scelta di $omega_i$).
Allora posso pensare l'insieme delle varie densità spettrali di potenza calcolate come una variabile aleatoria e trovarne la media statistica. Tale media, sarà per me la densità spettrale di potenza del processo aleatorio (sottolineo che tale densità spettrale di potenza è una funzione di $f$).

"raff5184":
Allora perché Elgiovo dice che la media è una $E_(omega_i)$, se a noi invece serve una caratterizzazione di tutto il processo?

Elgiovo ti ha detto che la media va fatta su $omega_i$ (cioè al variare di $omega_i$), proprio per renderci indipendenti da $omega_i$. Che è quello che ti ho detto anch'io.

[raff5184]

tutto chiaro raga! Grazie infinite!!!
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