Proprietà di Campionamento
Salve,
non ho ben compreso la seguente formulazione della proprietà di campionamento:
$v(t)delta(t-t_0) = v(t_0)delta(t-t_0)$
con $v$ continua in $t_0 in RR$ e $delta(t-t_0)$ è il Delta di Dirac centrato in $t_0$.
Bene, dal punto di vista analitico come è giustifacata tale formula?
Di solito quando studio una formula, vorrei vederne anche il "significato"; in questo caso:
- il primo membro dell'equazione cosa significa?
- e il secondo?
Ho provato a darmi una risposta:
- il primo membro è tutta la funzione $v$, annullata $AA t in RR$ tranne in $t_0$, dove non so che valore assume (forse $+oo$?);
- il secondo membro è il valore della funzione $v$ in $t_0$ moltiplicata per $delta(t-t_0)$: anche nel secondo membro si ha valore $+oo$?
Che significa?
Se non sono stato troppo chiaro nell'esporre il mio problema, vi prego di farmelo presente.
Grazie per la vostra attenzione
non ho ben compreso la seguente formulazione della proprietà di campionamento:
$v(t)delta(t-t_0) = v(t_0)delta(t-t_0)$
con $v$ continua in $t_0 in RR$ e $delta(t-t_0)$ è il Delta di Dirac centrato in $t_0$.
Bene, dal punto di vista analitico come è giustifacata tale formula?
Di solito quando studio una formula, vorrei vederne anche il "significato"; in questo caso:
- il primo membro dell'equazione cosa significa?
- e il secondo?
Ho provato a darmi una risposta:
- il primo membro è tutta la funzione $v$, annullata $AA t in RR$ tranne in $t_0$, dove non so che valore assume (forse $+oo$?);
- il secondo membro è il valore della funzione $v$ in $t_0$ moltiplicata per $delta(t-t_0)$: anche nel secondo membro si ha valore $+oo$?
Che significa?
Se non sono stato troppo chiaro nell'esporre il mio problema, vi prego di farmelo presente.
Grazie per la vostra attenzione
Risposte
La delta di Dirac è definita così:
Quindi se la moltiplichi per una qualsiasi funzione, nel tuo caso $v(t)$, ottieni una funzione che è nulla in $t!=t_0$ mentre invece in $t=t_0$ "preleva" il valore della funzione in questione.
Quella che ottieni è quindi una nuova delta di Dirac, con ampiezza $v(t_0)$, centrata sempre in $t_0$.
$\delta(t-t_0)=\{(1, text{per } t=t_0),(0, text{per } t!=t_0):}$.
Quindi se la moltiplichi per una qualsiasi funzione, nel tuo caso $v(t)$, ottieni una funzione che è nulla in $t!=t_0$ mentre invece in $t=t_0$ "preleva" il valore della funzione in questione.
Quella che ottieni è quindi una nuova delta di Dirac, con ampiezza $v(t_0)$, centrata sempre in $t_0$.
Ciao e grazie per la tua risposta. Mi è stato utile il tuo modo di vedere il $v_0$ come ampiezza del segnale (come avrai avuto modo di notare sono principiante bei segnali).
Ciò che ancora non mi torna è il valore $delta(t_0)$: perche vale $1$? Non dovrebbe vale $+oo$?
Nuovamente grazie
Ciò che ancora non mi torna è il valore $delta(t_0)$: perche vale $1$? Non dovrebbe vale $+oo$?
Nuovamente grazie
"Dino 92":
Salve,
non ho ben compreso la seguente formulazione della proprietà di campionamento:
$ v(t)delta(t-t_0) = v(t_0)delta(t-t_0) $
con $ v $ continua in $ t_0 in RR $ e $ delta(t-t_0) $ è il Delta di Dirac centrato in $ t_0 $.
L'uguaglianza che hai scritto sopra sta a dire che, siccome $\delta(t-t_0) = 0$ per $t \ne t_0$, allora puoi ignorare i valori di $v(\cdot)$ per $t \ne t_0$. Il risultato e' una delta piu' o meno "alta", a seconda di quanto vale $v(t_0)$.
"Gabriele.Sciaguato":
La delta di Dirac è definita così:
$\delta(t-t_0)=\{(1, text{per } t=t_0),(0, text{per } t!=t_0):}$.
No. La difficoltà qui sta nel definirla come una funzione, perché non lo è. E' una distribuzione, e la si definisce tramite il suo effetto su funzioni di test.
Comunque, moltiplicare per una delta è una notazione prettamente ingegneristica, per la quale i matematici ci disprezzano
In realta' il prodotto e' da intendersi sotto il segno di integrale:\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x - a)f(x)\text{d}x = f(a) \)
E puoi prendere proprio questa come definizione della delta.
A dirla tutta non e' formalmente corretto nemmeno cosi', perche' la delta non e' una distribuzione regolare. Si dovrebbe adottare una notazione del tipo \(\displaystyle \langle \delta_a|f \rangle = f(a)\)
"Dino 92":
Ciò che ancora non mi torna è il valore $ delta(t_0) $: perche vale $ 1 $? Non dovrebbe vale $ +oo $?
Nuovamente grazie
Si, se vuoi "visualizzare" la delta e' uno spike di ampiezza infinita, non 1. Forse Gabriele aveva in mente la delta di Kronecker $\delta_{ij} = 1$ sse $i = j$, che e' l'equivalente discreto.
Si certo, se dovessimo formalmente introdurre la delta dovremmo spostarci in analisi.
Ma direi che per capire come "usarla", per un ingegnere va bene.
In ingegneria, la delta si usa considerando ampiezza unitaria comunque, non infinita.
Ma direi che per capire come "usarla", per un ingegnere va bene.
In ingegneria, la delta si usa considerando ampiezza unitaria comunque, non infinita.
"Gabriele.Sciaguato":
In ingegneria, la delta si usa considerando ampiezza unitaria comunque, non infinita.
Non sono d'accordo.
Matematicamente, se la usassi cosi' avresti
\(\displaystyle \int f(x)\delta(x - a)\text{d}x = 0 \)
essendo $\delta(x-a) = 0$ quasi ovunque. Per ottenere un integrale non nullo, e' necessario un infinito di ordine "abbastanza elevato". Oltretutto puoi definire la delta come caso limite di funzioni piccate, ad esempio una gaussiana:
Quindi se si vuole visualizzare la delta la si deve immaginare come uno spike infinito.
Altro esempio: la delta non e' forse la derivata del gradino? In presenza della discontinuita' e' ovvio che la derivata "schizza" su.
Parlando da ingegnere (per il quale i gradini perfetti, ahime', non esistono): se do' dei gradini di tensione con fronti molto ripidi in pasto a un circuito derivatore, sull'oscilloscopio mi aspetto di vedere degli spike molto elevati, di altezza incontrollata. Quello e' un modo ancora piu' reale di visualizzare le delta, quindi anche ingegneristicamente non e' vero che la consideriamo di ampiezza unitaria.
La questione è proprio qui: nel mio libro di testo trovo definito il delta di Dirac come una funzione (o meglio distribuzione) che assume valore infinito in $t_0$.
Ma allora che senso ha moltiplicare $v_0$ per $+oo$?
Ma allora che senso ha moltiplicare $v_0$ per $+oo$?
"Dino 92":
La questione è proprio qui: nel mio libro di testo trovo definito il delta di Dirac come una funzione (o meglio distribuzione) che assume valore infinito in $t_0$.
Ma allora che senso ha moltiplicare $v_0$ per $+oo$?
Prova a rileggere quello che ho scritto sopra: la definizione della delta e' di tipo integrale, e il fatto che assuma valore infinito serve per non annullare l'integrale ma, al contrario, fargli assumere il valore di $f$ in un punto.
Per convincerti, prova a fare degli integrali numerici (matlab?) moltiplicando una funzione $f$ per delle funzioni molto piccate intorno a un singolo punto (puoi provare a usare le gaussiane della gif, con sigma sempre piu' piccola).
Quindi di fatto la moltiplicazione:
$v(t)delta(t-t_0)$
è equivalente ad estrarre il valore della funzione $v(t)$ in $t_0$ (ovvero $v(t_0)$)?
$v(t)delta(t-t_0)$
è equivalente ad estrarre il valore della funzione $v(t)$ in $t_0$ (ovvero $v(t_0)$)?
"Dino 92":
Quindi di fatto la moltiplicazione:
$v(t)delta(t-t_0)$
è equivalente ad estrarre il valore della funzione $v(t)$ in $t_0$ (ovvero $v(t_0)$)?
Si ma il valore campionato (meglio di "estratto"...) e' moltiplicato per una delta. Il risultato e' una delta che ha ampiezza $v(t_0)$. Il significato di una delta con ampiezza non unitaria, $a \cdot \delta(t - t_0)$, e' analogo a quello della delta "standard":
\(\displaystyle \int f(t) \cdot a \cdot \delta(t - t_0) \text{d}t = a\cdot \int f(t) \cdot \delta(t - t_0) \text{d}t = a\cdot f(t_0) \)
quindi ottengo formalmente:
$ v(t)delta(t-t_0)=v(t_0)delta(t-t_0)={ ( v_0, t=t_0 ),( 0, t!=t_0 ):} $
ho cioè "campionato" il valore della funzione $v$ in $t_0$, giusto?
$ v(t)delta(t-t_0)=v(t_0)delta(t-t_0)={ ( v_0, t=t_0 ),( 0, t!=t_0 ):} $
ho cioè "campionato" il valore della funzione $v$ in $t_0$, giusto?
"Dino 92":
quindi ottengo formalmente:
$ v(t)delta(t-t_0)=v(t_0)delta(t-t_0)={ ( v_0, t=t_0 ),( 0, t!=t_0 ):} $
ho cioè "campionato" il valore della funzione $v$ in $t_0$, giusto?
No!
Il risultato e' una delta, quindi ancora un impulso. Il "peso" dell'impulso e' $v(t_0)$.
Come a dire che invece di derivare un gradino di ampiezza unitaria ne hai derivato uno di ampiezza $v(t_0)$.
mmm.. cioè semplicemente:
$v(t)delta(t-t_0)=v(t_0)delta(t-t_0)$
questo è giusto?
Cioè se "moltiplico" una funzione ($v$) per un impulso($delta(t-t_0)$), ottengo ancora un impulso ($v(t_0)*delta(t-t_0)$)avente per ampiezza il valore della funzione nel supporto ($t_0$) dell'impulso
$v(t)delta(t-t_0)=v(t_0)delta(t-t_0)$
questo è giusto?
Cioè se "moltiplico" una funzione ($v$) per un impulso($delta(t-t_0)$), ottengo ancora un impulso ($v(t_0)*delta(t-t_0)$)avente per ampiezza il valore della funzione nel supporto ($t_0$) dell'impulso
Si, questo e' giusto. Non ti dimenticare che il risultato resta un impulso.
Ok, davvero grazie. Ora devo convincermi delle proprietà "analitiche", cioè del discorso dell'integrale.
A livello intuitivo ho compreso.
A livello intuitivo ho compreso.
"elgiovo":
[quote="Gabriele.Sciaguato"]
In ingegneria, la delta si usa considerando ampiezza unitaria comunque, non infinita.
Non sono d'accordo.
Matematicamente, se la usassi cosi' avresti
\( \displaystyle \int f(x)\delta(x - a)\text{d}x = 0 \)[/quote]
Perdonami, ma no:
$\intf(x)\delta(x-x_0)dx=\intf(x_0)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)\int\delta(x-x_0)dx=f(x_0)u(x-x_0)$
dove $u$ è la funzione gradino.
Puoi trovare una riprova anche qui http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_D ... a_funzione sotto il paragrafo "Prodotto per una funzione".
Poi, sono anche io d'accordo che non ha molto senso creare una diatriba su questo tema, dato che siamo fuori dal reale contesto di distribuzione. Ma per l'ingegneria va più che bene così.
"Gabriele.Sciaguato":
[quote="elgiovo"][quote="Gabriele.Sciaguato"]
In ingegneria, la delta si usa considerando ampiezza unitaria comunque, non infinita.
Non sono d'accordo.
Matematicamente, se la usassi cosi' avresti
\( \displaystyle \int f(x)\delta(x - a)\text{d}x = 0 \)[/quote]
Perdonami, ma no:
$\intf(x)\delta(x-x_0)dx=\intf(x_0)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)\int\delta(x-x_0)dx=f(x_0)u(x-x_0)$
dove $u$ è la funzione gradino.
Puoi trovare una riprova anche qui http://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_D ... a_funzione sotto il paragrafo "Prodotto per una funzione".
Poi, sono anche io d'accordo che non ha molto senso creare una diatriba su questo tema, dato che siamo fuori dal reale contesto di distribuzione. Ma per l'ingegneria va più che bene così.[/quote]
Perdonami, ma si.
Se la definisci come fai tu (e torno a ripetere che in ingegneria NON va bene cosi') ottieni
\(\displaystyle f(x_0)\int \delta(x-x_0)\text{d}x=0 \)
invece la delta e' fatta come e' fatta proprio perche' si abbia
\(\displaystyle \int \delta(x -x_0)\text{d}x = 1 \)
E il link che posti non c'entra nulla con quello che stiamo discutendo. Quello che volevo farti capire e' che se definisci la delta con valore 1 in un unico punto poi arrivi a contraddizioni. Sono d'accordo con il fatto che, con la "tua" delta,
\(\displaystyle f(x)\delta(x-x_0) = f(x_0)\delta(x-x_0) \)
ma poi ti perdi tutte le proprieta' integrali. Suvvia, un po' di precisione, siamo ingegneri!
Ma guarda che sulla definizione non ti sto dando addosso.
Sto dicendo che se prendiamo la teoria delle funzioni generalizzate, assumiamo come integrale della delta il gradino, che coerentemente è 1.
Abbiamo solo due modi "ingegneristicamente diversi" di approccio.
Se parliamo di definizioni rigorose, bè non c'è alcun dubbio.
Anyway, l'importante è che Dino abbia capito.
Sto dicendo che se prendiamo la teoria delle funzioni generalizzate, assumiamo come integrale della delta il gradino, che coerentemente è 1.
Abbiamo solo due modi "ingegneristicamente diversi" di approccio.
Se parliamo di definizioni rigorose, bè non c'è alcun dubbio.
Anyway, l'importante è che Dino abbia capito.
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