Processi gaussiani e sistemi LTI

[Kroldar]

Sia $X$ un processo gaussiano in ingresso a un sistema LTI e indichiamo con $Y$ il processo in uscita, che sarà anch'esso gaussiano.
Stabilito che $X$ e $Y$ sono marginalmente gaussiani, in generale sono anche congiuntamente gaussiani?

[_nicola de rosa]

"Kroldar":Sia $X$ un processo gaussiano in ingresso a un sistema LTI e indichiamo con $Y$ il processo in uscita, che sarà anch'esso gaussiano.
Stabilito che $X$ e $Y$ sono marginalmente gaussiani, in generale sono anche congiuntamente gaussiani?

se due variabili aleatorie $X,Y$ sono congiuntamente gaussiane allora sono anche marginalmente gaussiane. il viceversa non vale, cioè è possibile costruire esempi di variabili aleatorie marginalmente gaussiane la cui pdf congiunta non è gaussiana.

se invece le due variabili aleatorie $X,Y$ sono marginalmente gaussiane ed indipendenti, allora la pdf congiunta è gaussiana con $rho_(XY)=0.$

[Kroldar]

Certo, ti ringrazio per la risposta, anche se questa parte, grazie a Dio, l'ho capita bene.
La mia domanda è leggermente diversa e parla di un processo aleatorio in ingresso a un sistema LTI... ovviamente due processi aleatori marginalmente gaussiani non è detto che siano congiuntamente gaussiani, ma sai, i sistemi LTI spesso portano tante cose sorprendenti, perciò vorrei sapere cosa accade quando un processo gaussiano è messo in ingresso a un sistema LTI.

Una curiosità: Hai studiato probabilità dal Gelli? La risposta che mi hai dato mi sembra di averla letta identica sul libro di Gelli...

[_luca.barletta]

Prova a fare 2 conti con questo esempio: hai un filtro LTI ad un coefficiente $c_0=alpha$, quindi hai $y_k=alphax_k$. Prova a calcolare $f_(X_k,Y_k)(x_k,y_k)$

[Kroldar]

"luca.barletta":hai un filtro LTI ad un coefficiente $c_0=alpha$

Che vuol dire? I filtri LTI sono stato abituato ad indicarli con la risposta impulsiva $h(t)$ o la risposta in frequenza $H(f)$.

[_luca.barletta]

è un filtro $h(t)=c_0delta(t)$ flat in frequenza, l'ho fatto tempo discreto per semplificare un attimo, invece di usare processi usiamo v.a.