Problema di matematica applicata (alla statica dei cavi)
Sono uno studente di dottorato in Ingegneria delle Strutture, appena iscritto al Forum, vorrei sapere se qualcuno più esperto di me può aiutarmi nella soluzione del problema che segue.
Il profilo di un cavo sospeso tra supporti alla stessa quota sotto il proprio peso è descritto nel piano x,y dalla funzione, espressa in forma parametrica:
$x(s)=h Lambda(rho s+1/2(sinh^(-1)(v/h)-sinh^(-1)((v-2s)/h)))$
$y(s)=-Lambda(rho s(v-s)+1/2(sqrt(h^2+v^2)-sqrt(h^2+(v-2s)^2)))$
per $0
La questione è: come calcolare l'area sottesa dal cavo e delimitata dall'orizzontale tra i supporti? Ovviamente la cosa sarebbe banale se si potesse ad esempio invertire la relazione $x(s)$ (ma non mi pare possibile in forma chiusa) in modo da ottenere la funzione $y(s(x))$ risolvendo infine un integrale per via numerica. Ma c'è un'altra via? Vorrei evitare appossimazioni, se possibile. A questo proposito, da considerazioni empiriche (estranee all'analisi delle funzioni) si può prevedere che per $Lambda~=1$, $rho$<<1, $v$<<$h$ (cavo molto teso) il profilo dovrebbe somigliare ad una parabola, quindi la soluzione dovrebbe essere prossima a $2/3$.
Più in generale, la questione si riduce a come si può impostare l'integrazione (eventualmente da risolvere anche per via numerica) di una funzione esprimibile solo in forma parametrica (forse ricorrendo a qualche trasformata ?)
Grazie in anticipo per l'attenzione.
Il profilo di un cavo sospeso tra supporti alla stessa quota sotto il proprio peso è descritto nel piano x,y dalla funzione, espressa in forma parametrica:
$x(s)=h Lambda(rho s+1/2(sinh^(-1)(v/h)-sinh^(-1)((v-2s)/h)))$
$y(s)=-Lambda(rho s(v-s)+1/2(sqrt(h^2+v^2)-sqrt(h^2+(v-2s)^2)))$
per $0
La questione è: come calcolare l'area sottesa dal cavo e delimitata dall'orizzontale tra i supporti? Ovviamente la cosa sarebbe banale se si potesse ad esempio invertire la relazione $x(s)$ (ma non mi pare possibile in forma chiusa) in modo da ottenere la funzione $y(s(x))$ risolvendo infine un integrale per via numerica. Ma c'è un'altra via? Vorrei evitare appossimazioni, se possibile. A questo proposito, da considerazioni empiriche (estranee all'analisi delle funzioni) si può prevedere che per $Lambda~=1$, $rho$<<1, $v$<<$h$ (cavo molto teso) il profilo dovrebbe somigliare ad una parabola, quindi la soluzione dovrebbe essere prossima a $2/3$.
Più in generale, la questione si riduce a come si può impostare l'integrazione (eventualmente da risolvere anche per via numerica) di una funzione esprimibile solo in forma parametrica (forse ricorrendo a qualche trasformata ?)
Grazie in anticipo per l'attenzione.
Risposte
Mi sembra che tu possa agire direttamente, posto
$x(s)=h Lambda(rho s+1/2(sinh^(-1)(v/h)-sinh^(-1)((v-2s)/h)))$
$y(s)=-Lambda(rho s(v-s)+1/2(sqrt(h^2+v^2)-sqrt(h^2+(v-2s)^2)))$
devi trovare il differenziale $dx=\frac{dx(s)}{ds}ds$ e poi integrare numericamente:
$\int _0^1 y(s)\frac{dx(s)}{ds}ds$
o forse non ho compreso bene la tua richiesta ....
$x(s)=h Lambda(rho s+1/2(sinh^(-1)(v/h)-sinh^(-1)((v-2s)/h)))$
$y(s)=-Lambda(rho s(v-s)+1/2(sqrt(h^2+v^2)-sqrt(h^2+(v-2s)^2)))$
devi trovare il differenziale $dx=\frac{dx(s)}{ds}ds$ e poi integrare numericamente:
$\int _0^1 y(s)\frac{dx(s)}{ds}ds$
o forse non ho compreso bene la tua richiesta ....
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