Problema con i transitori
ciao a tutti e grazie a chi mi risponderà. sono nuova del forum e ho subito una domanda da porvi.
faccio molta fatica a risolvere gli esercizi di elettrotecnica con transitori. per esempio nell'esercizio 1.2 (http://www.elettrotecnica.unina.it/file ... izi_TR.pdf) non capisco come viene calcolata la soluzione particolare. perchè vp(t)=E1? forse sbaglio a disegnare il circuito per t->infinito.
faccio molta fatica a risolvere gli esercizi di elettrotecnica con transitori. per esempio nell'esercizio 1.2 (http://www.elettrotecnica.unina.it/file ... izi_TR.pdf) non capisco come viene calcolata la soluzione particolare. perchè vp(t)=E1? forse sbaglio a disegnare il circuito per t->infinito.
Risposte
Come dice la soluzione, per $t-> + \infty$ il sistema sarà a regime, dato che il regime è in continua (non ci sono generatori di tensione o corrente sinusoidali) anche la tensione del condensatore sarà un numero fisso e dato che in continua il condensatore si comporta come un circuito aperto, non ci sarà corrente che attraversa la resistenza, dunque la tensione ai capi di essa sarà nulla, e quindi la tensione ai capi del condensatore deve essere uguale a quella del generatore di tensione E1.
Comunque anche senza sapere questo, impostando il problema di cauchy associato e ricavando la soluzione ottieni esattamente quel valore, infatti hai
$E1 - RC*v'_c - v_c = 0$ quindi $v'_c + (v_c)/(RC) = (E1)/(RC)$ e $v_c(0)=2$, quindi risolvendo l'equazione differenziale a coefficienti costanti hai la soluzione che è data da
$v_c(t)=Ke^{-RC*t} + v_p(t)$ dove $v_p$ è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, quindi cercando una soluzione di tipo costante $v_p(t) = A$ (dato che la funzione E1 è costante) si ottiene $A/(RC) = (E1)/(RC)$ da cui $A=E1$ quindi la soluzione completa è
$v_c(t) = Ke^{-RC*t} + E1$
imponendo la condizione iniziale si ha
$2 = K+E1$ da cui $K = 2-E1$ quindi la soluzione sarà $v_c(t) = E1 + (2-E1)e^{-RC*t}$ che per $t->\oo$ risulta $v_c(\oo)=E1$
La soluzione la puoi vedere come la composizione della risposta libera del sistema quindi con $E1 = 0$ e quindi il condensatore che da tensione iniziale si scarica a zero con andamento $v_c(t) = 2*e^{-RC*t}$, e la risposta forzata al generatore E1 (partendo da condizione iniziale nulla) data da $v_c(t) = E1*(1-e^{-RC*t})$
Comunque anche senza sapere questo, impostando il problema di cauchy associato e ricavando la soluzione ottieni esattamente quel valore, infatti hai
$E1 - RC*v'_c - v_c = 0$ quindi $v'_c + (v_c)/(RC) = (E1)/(RC)$ e $v_c(0)=2$, quindi risolvendo l'equazione differenziale a coefficienti costanti hai la soluzione che è data da
$v_c(t)=Ke^{-RC*t} + v_p(t)$ dove $v_p$ è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea, quindi cercando una soluzione di tipo costante $v_p(t) = A$ (dato che la funzione E1 è costante) si ottiene $A/(RC) = (E1)/(RC)$ da cui $A=E1$ quindi la soluzione completa è
$v_c(t) = Ke^{-RC*t} + E1$
imponendo la condizione iniziale si ha
$2 = K+E1$ da cui $K = 2-E1$ quindi la soluzione sarà $v_c(t) = E1 + (2-E1)e^{-RC*t}$ che per $t->\oo$ risulta $v_c(\oo)=E1$
La soluzione la puoi vedere come la composizione della risposta libera del sistema quindi con $E1 = 0$ e quindi il condensatore che da tensione iniziale si scarica a zero con andamento $v_c(t) = 2*e^{-RC*t}$, e la risposta forzata al generatore E1 (partendo da condizione iniziale nulla) data da $v_c(t) = E1*(1-e^{-RC*t})$
Gli esponenziali non sono corretti. Infatti dalla soluzione dell'equazione differenziale si ottiene $\lambda=-1/(RC)=-1/\tau$ con $\tau$ costante di tempo. Correttamente si ha $e^(-t/(RC))$ (un modo per poter accorgersene è tramite un'analisi dimesionale; infatti, l'argomento di una funzione deve essere sempre adimensionale, mentre in quel caso si avrebbe $sec^2$). 
ops
ok, credo di aver capito, ma non riesco a fare questo esercizio (n.1):
http://img26.imageshack.us/img26/5524/img009ftt.jpg
Per $t<0$ ho il circuito 1. Con l'equazione di millman trovo $iL(0)=i4(0-)=10 A$. E' corretto?
Per $t>0$ ho il circuito 2 che trasformo nel circuito 4 (metto in serie R2 e R3, trasformo la serie tra R23 e il generatore Vg in un parallelo tra $Ig=Vg*R23=15 A$ e R23 e infine metto in parallelo R23 e R4 ottenendo una resistenza di 2 ohm). Ora faccio l'equazione differenziale.
$v=LdiL/dt$
$v3+vL=vR$
$v3=iL*R3=3iL$
$vR=R*(Ig-iL)=30-2iL$
Sostituendo ottengo $diL/dt=-5iL/L+30/L$ la cui soluzione è $iL(t)=ce^(-10t)$ + soluzione particolare. la soluzione particolare mi viene 6 e $c=10$.
il risultato invece dovrebbe essere $iL(t)=-4e^(-9t)+10$.
cosa sbaglio?
http://img26.imageshack.us/img26/5524/img009ftt.jpg
Per $t<0$ ho il circuito 1. Con l'equazione di millman trovo $iL(0)=i4(0-)=10 A$. E' corretto?
Per $t>0$ ho il circuito 2 che trasformo nel circuito 4 (metto in serie R2 e R3, trasformo la serie tra R23 e il generatore Vg in un parallelo tra $Ig=Vg*R23=15 A$ e R23 e infine metto in parallelo R23 e R4 ottenendo una resistenza di 2 ohm). Ora faccio l'equazione differenziale.
$v=LdiL/dt$
$v3+vL=vR$
$v3=iL*R3=3iL$
$vR=R*(Ig-iL)=30-2iL$
Sostituendo ottengo $diL/dt=-5iL/L+30/L$ la cui soluzione è $iL(t)=ce^(-10t)$ + soluzione particolare. la soluzione particolare mi viene 6 e $c=10$.
il risultato invece dovrebbe essere $iL(t)=-4e^(-9t)+10$.
cosa sbaglio?
(le derivate di iL sono venute male perchè ho fatto le L maiuscole... spero si capisca lo stesso...)
il testo dice che per $t < 0$ l'interruttore è aperto, quindi la resistenza R1 non viene aggirata, mentre per $t >= 0$ la resistenza R1 non compare poichè in parallelo a un corto circuito.
Come hai applicato il teorema di Norton se c'è un componente reattivo???? E poi c'è ancora un errore dimensionale.....$I_g=V_g*R_(23)$?????
ha trasformato solo la parte resistiva della rete, non ci sono problemi per quello... il problema è a monte....il circuito che considera è sbagliato perchè R1 non dovrebbe esserci.
grazie mille!! finalmente sono riuscita a farlo. Non avevo capito come funzionavano gli interruttori. Ora è tutto chiaro.
Ancora grazie.
Ancora grazie.
un ultima domanda: come faccio a trovare le equazioni differenziali per componenti diversi da induttori e condensatori? Per esempio nell'esercizio che vi ho dato chiede anche la i4(t). come faccio a scrivere una equazione differenziale che abbia come variabile la i4?
Beh non è detto che tu debba scrivere per forza un'equazione differenziale riferita a $i_4(t)$; infatti, quest'ultima puoi sempre ottenerla calcolandoti $i_L(t)$ e poi facendo una LKC. Ovvero:
$i_(R_(24))(t)=I_G-i_L(t)$
$i_4(t)=R_(2)/(R_2+R_4)i_4(t)$
Altrimenti ti fermi al terzo circuito e imponi tutto rispetto a $i_4(t)$ (ma se hai già calcolato $i_L$ diventa una perdita di tempo).
$i_(R_(24))(t)=I_G-i_L(t)$
$i_4(t)=R_(2)/(R_2+R_4)i_4(t)$
Altrimenti ti fermi al terzo circuito e imponi tutto rispetto a $i_4(t)$ (ma se hai già calcolato $i_L$ diventa una perdita di tempo).
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