Parlando di H-trasformata...
Ragazzi
in questo stesso forum alcuni giorni fa quello che sembrava il solito ‘noioso intregraluccio’ ha dato spunto ad una divagazione estremamente interessante che, essendo stata apprezzata da alcuni utenti, mi pare giusto approfondire un poco. Si tratta di un algoritmo estremamente potente ed utili in svariate applicazioni nel campo della elaborazione di segnali il quale però ha un ‘baco di fondo’: esso si basa su premesse matematiche ‘false’. Stiamo parlando della cosiddetta Trasformata di Hilbert…
La definzione standard di Trasformata di Hilbert è la seguente [A. Poularikas The Transform and Application Handbook…]
Sia $u(t)$ una funzione temporale definita in $-∞Trasformata di Hilbert di u(t) la funzione…
$v(t)=1/pi* int_(-oo)^(+oo)(u(tau))/(t-tau)* d tau$ (1)
… ove l’integrale deve essere inteso come ‘valore principale’ …
Prima di procedere una premessa di base. Supponiamo di avere un integrale definito nella forma…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt$ (2)
Per definizione il valore numerico di detto integrale sarà…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt= lim (x->+oo) int_(-x)^(x) f(t)*dt$ (3)
Ora dalla evidente identità…
$f(t)= f_p(t)+f_d(t)$, con …
$f_p(t)=1/2* [f(t)+f(-t)]$
$f_d(t)=1/2*[f(t)-f(-t)]$ (4)
… si deduce che qualunque $f(t)$ può essere suddivisa in ‘parte pari’ e parte dispari’. Dalla altrettanto evidente proprietà…
$f_d(x)=-f_d(-x)
… si deduce poi che è…
$int_(-x)^x f_d(x)*dx=0$ (5)
Combinando insieme la (4) e la (5) si perviene alla formula…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt= lim_(x->+oo) 2*int_0^x f_p(x)*dx$ (6)
Dopo questa ‘premessa’ [la cui validità daremo per scontata salvo qualcuno non riesca a dimostrare in modo ‘rigoroso’ che essa non è vera…] vediamo un interessante legame tra la Trasformata di Hilbert [detta anche H-trasformata…] e la Trasformata di Fourier [della anche F-trasformata…]. Dalla (1) appare evidente che…
$H[u(t)]= v(t)= u(t)$* $1/(pi*t)$ (7)
… dove con il simbolo ‘*’ si è indicata la ‘convoluzione’. Sfruttando ora una proprietà fondamentale della F-trasformata si ha…
$F[v(t)]=F[u(t)]*F[1/(pi*t)]$ (8)
In altre parole un metodo effciente per ottenere la H-trasformata di una funzione $u(t)$ cosiste nell’eseguire io prodotto delle trasformate di $u(t)$ e di $phi(t)=1/(pi*t)$ e quindi eseguire la trasformata inversa….
Quanto vale però $F[phi(t)]$?… c’è qualcuno che se la sente di calcolarla?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
in questo stesso forum alcuni giorni fa quello che sembrava il solito ‘noioso intregraluccio’ ha dato spunto ad una divagazione estremamente interessante che, essendo stata apprezzata da alcuni utenti, mi pare giusto approfondire un poco. Si tratta di un algoritmo estremamente potente ed utili in svariate applicazioni nel campo della elaborazione di segnali il quale però ha un ‘baco di fondo’: esso si basa su premesse matematiche ‘false’. Stiamo parlando della cosiddetta Trasformata di Hilbert…
La definzione standard di Trasformata di Hilbert è la seguente [A. Poularikas The Transform and Application Handbook…]
Sia $u(t)$ una funzione temporale definita in $-∞
$v(t)=1/pi* int_(-oo)^(+oo)(u(tau))/(t-tau)* d tau$ (1)
… ove l’integrale deve essere inteso come ‘valore principale’ …
Prima di procedere una premessa di base. Supponiamo di avere un integrale definito nella forma…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt$ (2)
Per definizione il valore numerico di detto integrale sarà…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt= lim (x->+oo) int_(-x)^(x) f(t)*dt$ (3)
Ora dalla evidente identità…
$f(t)= f_p(t)+f_d(t)$, con …
$f_p(t)=1/2* [f(t)+f(-t)]$
$f_d(t)=1/2*[f(t)-f(-t)]$ (4)
… si deduce che qualunque $f(t)$ può essere suddivisa in ‘parte pari’ e parte dispari’. Dalla altrettanto evidente proprietà…
$f_d(x)=-f_d(-x)
… si deduce poi che è…
$int_(-x)^x f_d(x)*dx=0$ (5)
Combinando insieme la (4) e la (5) si perviene alla formula…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt= lim_(x->+oo) 2*int_0^x f_p(x)*dx$ (6)
Dopo questa ‘premessa’ [la cui validità daremo per scontata salvo qualcuno non riesca a dimostrare in modo ‘rigoroso’ che essa non è vera…] vediamo un interessante legame tra la Trasformata di Hilbert [detta anche H-trasformata…] e la Trasformata di Fourier [della anche F-trasformata…]. Dalla (1) appare evidente che…
$H[u(t)]= v(t)= u(t)$* $1/(pi*t)$ (7)
… dove con il simbolo ‘*’ si è indicata la ‘convoluzione’. Sfruttando ora una proprietà fondamentale della F-trasformata si ha…
$F[v(t)]=F[u(t)]*F[1/(pi*t)]$ (8)
In altre parole un metodo effciente per ottenere la H-trasformata di una funzione $u(t)$ cosiste nell’eseguire io prodotto delle trasformate di $u(t)$ e di $phi(t)=1/(pi*t)$ e quindi eseguire la trasformata inversa….
Quanto vale però $F[phi(t)]$?… c’è qualcuno che se la sente di calcolarla?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Continuo a non capire una cosa (avevo fatto questa domanda già nell'altro topic, ma nessuno mi aveva risposto...). Tu dici che ogni funzione può essere scritta come la somma di una parte pari e una parte dispari, ma se, ad esempio, io prendo $f(x) = \sqrt{x}$, non posso mica scriverla come $f(x) = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{-x}}{2} + \frac{\sqrt{x} - \sqrt{-x}}{2}$, in quanto il dominio massimale della prima è l'insieme $\mathbb{R}^{+}$, mentre il dominio massimale della seconda è l'insieme $\{0\}$. È così o sono io che sbaglio?
In ogni caso...
vado a memoria, $-j "sgn"(f)$? Dove $"sgn"(t) = \{(1, "se "t>0),(0, "se " t=0),(-1, "se " t<0):}$
"lupo grigio":
Quanto vale però $F[phi(t)]$?… c’è qualcuno che se la sente di cacolarla?…
vado a memoria, $-j "sgn"(f)$? Dove $"sgn"(t) = \{(1, "se "t>0),(0, "se " t=0),(-1, "se " t<0):}$
Due osservazioni per Tipper...
a) è evidente che per diefinire 'parte pari' e 'parte dispari' di una funzione di $t$ nell'interallo $-a
b) la F-trasformata di una funzione di $t$ è funzione di $omega$, non di $t$...
A parte questo dettaglio diciamo che l'ultima risposta, quand'anche esatta, andrebbe 'giustificata'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) è evidente che per diefinire 'parte pari' e 'parte dispari' di una funzione di $t$ nell'interallo $-a
b) la F-trasformata di una funzione di $t$ è funzione di $omega$, non di $t$...
A parte questo dettaglio diciamo che l'ultima risposta, quand'anche esatta, andrebbe 'giustificata'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
b) la F-trasformata di una funzione di $t$ è funzione di $omega$, non di $t$...
"Tipper (nel post precedente)":
In ogni caso...
[quote="lupo grigio"]Quanto vale però $F[phi(t)]$?… c’è qualcuno che se la sente di cacolarla?…
vado a memoria, [size=125]$-j "sgn"(f)$[/size]? Dove $"sgn"(t) = \{(1, "se "t>0),(0, "se " t=0),(-1, "se " t<0):}$[/quote]
E io che ho scritto?
In ogni caso, come detto, sono andato a memoria; mi ricordo dal corso di Teoria dei Segnali che la trasformata di $"sgn"(t)$ è $\frac{1}{j \pi f}$, pertanto, usando la proprietà della dualità della trasformata di Fourier, si arriva alla conclusione.
Come giustificare la trasformata del segno, sinceramente non saprei. L'unica cosa che mi viene in mente è osservare che $"sgn"(t) = \lim_{\alpha \to 0} (e^{- \alpha t} u(t) - e^{\alpha t} u(-t))$. Non penso però che sia lecito calcolare la trasformata dell'argomento del limite e applicare il limite alla trasformata, anche se in questo caso particolare tornerebbe...
EDIT: correttti due segni.
Come giustificare la trasformata del segno, sinceramente non saprei. L'unica cosa che mi viene in mente è osservare che $"sgn"(t) = \lim_{\alpha \to 0} (e^{- \alpha t} u(t) - e^{\alpha t} u(-t))$. Non penso però che sia lecito calcolare la trasformata dell'argomento del limite e applicare il limite alla trasformata, anche se in questo caso particolare tornerebbe...
EDIT: correttti due segni.
Ragazzi
vedo che quando si tratta di ‘filosofeggiare’ siete tutti assai bravi, quando si tratta di risolvere un ‘banale integralino’ vi tirate tutti indietro…
Per definizione la F-trasformata di una funzione $u(t)$ è…
$U(omega)= int_(-oo)^(+oo) u(t)*e^(-j*omega*t)*dt$ (1)
… e mi auguro che su questo nessuno abbia dubbi. Una volta assegnata la $u(t)$, l’unica maniera di andare avanti è, volenti o nolenti, calcolarsi l’integrale e vedere che cosa salta fuori. Allora... nel nostro caso è $u(t)=1/(pi*t)$ per cui…
$F[1/(pi*t)]= int_(-oo)^(+oo) 1/(pi*t)*e^(-j*omega*t)*dt$ (2)
Innanzitutto è cosa ovvia separare parte reale e parte immaginaria…
$F[1/(pi*t)]= 1/pi* int_(-oo)^(+oo) (cos omega*t)/t*dt –j/pi int _(-oo)^(+oo) (sin omega*t)/t*dt$ (3)
Ora soffermiamoci sul primo integrale e calcoliamo la ‘parte pari’ della funzione integranda…
$f_p(t)= ½*((cos omega*t)/t-(cos omega*t)/t)=0$ (4)
Molto bene ragazzi !… così il primo termine non dà contributo e possiamo passare al secondo termine…
$f_p(t)= ½*((sin omega*t)/t +(sin omega*t)/t)= (sin omega*t)/t$ (5)
Molto bene ragazzi!… il secondo termine dà un contributo non nullo all’integrale e così possiamo scrivere…
$F[1/(pi*t)]= -j/pi*int_(-oo)^(+oo) (sin omega*t)/t*dt$ (6)
Operiamo ora la sostituzione $gamma=omega*t$ e così l’integrale diviene…
$F[1/(pi*t)]= -j/pi*sgn (omega)*int_(-oo)^(+oo) sin gamma/gamma*d gamma$ (6)
… in cui è…
$sgn (omega) = \{(1, "se "omega>0),(0, "se " omega=0),(-1, "se " omega<0):}$
Applicando ora la formula vista nel mio post precedente…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt= 2*int_0^(+oo) f_p(t)*dt$ (7)
… si ottiene il risultato voluto…
$F[1/(pi*t)]= -j/pi*sgn (omega)*2*int_0^(+oo) (sin gamma)/gamma*d gamma= -j*sgn (omega)$ (8)
Sinceramente la cosa non mi pare di difficoltà ‘insormontabile’… sempre naturalmente si proceda nei conti in modo ‘corretto’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
vedo che quando si tratta di ‘filosofeggiare’ siete tutti assai bravi, quando si tratta di risolvere un ‘banale integralino’ vi tirate tutti indietro…
Per definizione la F-trasformata di una funzione $u(t)$ è…
$U(omega)= int_(-oo)^(+oo) u(t)*e^(-j*omega*t)*dt$ (1)
… e mi auguro che su questo nessuno abbia dubbi. Una volta assegnata la $u(t)$, l’unica maniera di andare avanti è, volenti o nolenti, calcolarsi l’integrale e vedere che cosa salta fuori. Allora... nel nostro caso è $u(t)=1/(pi*t)$ per cui…
$F[1/(pi*t)]= int_(-oo)^(+oo) 1/(pi*t)*e^(-j*omega*t)*dt$ (2)
Innanzitutto è cosa ovvia separare parte reale e parte immaginaria…
$F[1/(pi*t)]= 1/pi* int_(-oo)^(+oo) (cos omega*t)/t*dt –j/pi int _(-oo)^(+oo) (sin omega*t)/t*dt$ (3)
Ora soffermiamoci sul primo integrale e calcoliamo la ‘parte pari’ della funzione integranda…
$f_p(t)= ½*((cos omega*t)/t-(cos omega*t)/t)=0$ (4)
Molto bene ragazzi !… così il primo termine non dà contributo e possiamo passare al secondo termine…
$f_p(t)= ½*((sin omega*t)/t +(sin omega*t)/t)= (sin omega*t)/t$ (5)
Molto bene ragazzi!… il secondo termine dà un contributo non nullo all’integrale e così possiamo scrivere…
$F[1/(pi*t)]= -j/pi*int_(-oo)^(+oo) (sin omega*t)/t*dt$ (6)
Operiamo ora la sostituzione $gamma=omega*t$ e così l’integrale diviene…
$F[1/(pi*t)]= -j/pi*sgn (omega)*int_(-oo)^(+oo) sin gamma/gamma*d gamma$ (6)
… in cui è…
$sgn (omega) = \{(1, "se "omega>0),(0, "se " omega=0),(-1, "se " omega<0):}$
Applicando ora la formula vista nel mio post precedente…
$int_(-oo)^(+oo) f(t)*dt= 2*int_0^(+oo) f_p(t)*dt$ (7)
… si ottiene il risultato voluto…
$F[1/(pi*t)]= -j/pi*sgn (omega)*2*int_0^(+oo) (sin gamma)/gamma*d gamma= -j*sgn (omega)$ (8)
Sinceramente la cosa non mi pare di difficoltà ‘insormontabile’… sempre naturalmente si proceda nei conti in modo ‘corretto’…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grazie, lupo grigio, dell'approfondimento.
E grazie anche del riferimento bibliografico,
che mi sembra davvero un ottimo supporto
sulle trasformate.
Non è dunque dimostrato che, in generale,
$int_(-oo)^(+oo)f(t)dtnelim_(x to oo)2int_0^xf_p(x)dx$.
Di sicuro, per il calcolo di trasformate quali $ccF[1/(picdott)]$
è una "congettura" piuttosto comoda.
E grazie anche del riferimento bibliografico,
che mi sembra davvero un ottimo supporto
sulle trasformate.
Non è dunque dimostrato che, in generale,
$int_(-oo)^(+oo)f(t)dtnelim_(x to oo)2int_0^xf_p(x)dx$.
Di sicuro, per il calcolo di trasformate quali $ccF[1/(picdott)]$
è una "congettura" piuttosto comoda.
Ragazzi
a quanto pare la mia ‘riflessione’ sulla Trasformata di Hilbert non deve essere stata così ‘noiosa’. Un sentito ‘grazie’ quindi al elgiovo… e quanto a me proverò ad andare un poco avanti con le mie ‘riflessioni’…
Detta $U(omega)$ la F-trasformata di $u(t)$ e $V(omega)$ la F-trasformata di $v(t)=H[u(t)]$ abbiamo visto che è…
$V(omega)= -j*sgn(omega)*U(omega)$ (1)
Osservando la (1) viene assai spontanea una ‘interpretazione’ della Trasformata di Hilbert nel dominio delle frequenze. In tale dominio il prodotto per la quantità ‘$-j$ equivale ad introdurre uno sfasamento di $pi/2$ in ritardo per tutte le frequenze della banda del segnale. In altre parole ogni generica componente del tipo $sin omega*t$ diviene $- cos omega*t$ e ogni componente del tipo $cos omega*t$ diviene $sin omega*t$. Per renderci conto di ciò calcoliamo la H-trasformata della funzione $u(t)= cos omega*t$…
$v(t)= H[cos omega*t]= 1/pi*int_(-oo)^(+oo) (cos omega*t)/(t-tau)*d tau$ (2)
Ponendo $gamma= t-tau$ di ottiene…
$v(t)= -1/pi* int_(-oo)^(+oo) (cos omega*(gamma+t))/gamma* d gamma=$
$= -1/pi*(cos omega*t* int_(-oo)^(+oo) cos (omega*gamma)/gamma* d gamma- sin omega*t* int_(-oo)^(+oo) sin (omega*gamma)/gamma* d gamma)$ (3)
Ora abbiamo visto [ e mi auguro non ci siano più dubbi su ciò …] che è…
$int_(-oo)^(+oo) cos (omega*gamma)/gamma*d gamma=0$
$int_(-oo)^(+oo) sin (omega*gamma)/gamma* d gamma=pi$ (4)
… e pertanto sarà…
$v(t)=H[cos omega*t]= sin omega*t$ (5)
Allo stesso modo si dimostra che è…
$H[sin omega*t]= - cos omega*t$ (6)
Questa proprietà della H-trasformata è alla base di molte ‘interessanti’ [e per certi versi ‘sorprendenti’…] applicazioni, alcune delle quali saranno mostrate tra poco…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a quanto pare la mia ‘riflessione’ sulla Trasformata di Hilbert non deve essere stata così ‘noiosa’. Un sentito ‘grazie’ quindi al elgiovo… e quanto a me proverò ad andare un poco avanti con le mie ‘riflessioni’…
Detta $U(omega)$ la F-trasformata di $u(t)$ e $V(omega)$ la F-trasformata di $v(t)=H[u(t)]$ abbiamo visto che è…
$V(omega)= -j*sgn(omega)*U(omega)$ (1)
Osservando la (1) viene assai spontanea una ‘interpretazione’ della Trasformata di Hilbert nel dominio delle frequenze. In tale dominio il prodotto per la quantità ‘$-j$ equivale ad introdurre uno sfasamento di $pi/2$ in ritardo per tutte le frequenze della banda del segnale. In altre parole ogni generica componente del tipo $sin omega*t$ diviene $- cos omega*t$ e ogni componente del tipo $cos omega*t$ diviene $sin omega*t$. Per renderci conto di ciò calcoliamo la H-trasformata della funzione $u(t)= cos omega*t$…
$v(t)= H[cos omega*t]= 1/pi*int_(-oo)^(+oo) (cos omega*t)/(t-tau)*d tau$ (2)
Ponendo $gamma= t-tau$ di ottiene…
$v(t)= -1/pi* int_(-oo)^(+oo) (cos omega*(gamma+t))/gamma* d gamma=$
$= -1/pi*(cos omega*t* int_(-oo)^(+oo) cos (omega*gamma)/gamma* d gamma- sin omega*t* int_(-oo)^(+oo) sin (omega*gamma)/gamma* d gamma)$ (3)
Ora abbiamo visto [ e mi auguro non ci siano più dubbi su ciò
…] che è… $int_(-oo)^(+oo) cos (omega*gamma)/gamma*d gamma=0$
$int_(-oo)^(+oo) sin (omega*gamma)/gamma* d gamma=pi$ (4)
… e pertanto sarà…
$v(t)=H[cos omega*t]= sin omega*t$ (5)
Allo stesso modo si dimostra che è…
$H[sin omega*t]= - cos omega*t$ (6)
Questa proprietà della H-trasformata è alla base di molte ‘interessanti’ [e per certi versi ‘sorprendenti’…] applicazioni, alcune delle quali saranno mostrate tra poco…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Grande lupo grigio! Sei il primo su questo forum a parlare (che io ricordi) della trasformata di Hilbert! Io mi ci sono imbattuto nel corso di Trasmissione Numerica e veniva introdotta nel capitolo relativo alla rappresentazione dei segnali a banda stretta tramite equivalente passabasso (componenti in fase e in quadratura). Se non ricordo male, la trasformata di Hilbert compare anche nella rappresentazione di un segnale modulato SSB.
Quindi, nel calcolo di $ccF[ccH[u(t)]]$
è come se si trasformassero
nel dominio dei fasori $ccF$-trasformate:
moltiplicare per $-j$ un numero complesso
(fasore) significa ruotarlo di $pi+pi/2$ in verso
antiorario (il primo addendo è dovuto al $-1$, il
secondo a $j$), causando appunto un ritardo
complessivo di $pi/2$.
è come se si trasformassero
nel dominio dei fasori $ccF$-trasformate:
moltiplicare per $-j$ un numero complesso
(fasore) significa ruotarlo di $pi+pi/2$ in verso
antiorario (il primo addendo è dovuto al $-1$, il
secondo a $j$), causando appunto un ritardo
complessivo di $pi/2$.
"lupo grigio":
Osservando la (1) viene assai spontanea una ‘interpretazione’ della Trasformata di Hilbert nel dominio delle frequenze. In tale dominio il prodotto per la quantità ‘$-j$ equivale ad introdurre uno sfasamento di $pi/2$ in ritardo per tutte le frequenze della banda del segnale.
Forse ho letto sommariamente e non ho capito il senso, però ricordo bene che la trasformata di Hilbert non sfasa tutte le frequenze allo stesso modo, ma ha la proprietà si sfasare di $pi/2$ le frequenze negative e di $-pi/2$ quelle positive
Poi, visto che lupo grigio ha parlato di proprietà interessanti, vediamo qualche proprietà della trasformata di Hilbert:
- la trasformata di Hilbert di un segnale pari è dispari e viceversa
- l'energia di un segnale è pari all'energia della sua trasformata di Hilbert
- un segnale e la sua trasformata di Hilbert sono ortogonali
- applicando due volte la trasformata di Hilbert a un segnale si ottiene il segnale originario col segno cambiato
@ Kroldar;
Infatti $V(omega)=-jcdot$$sign(omega)$$cdotU(omega)$.
Infatti $V(omega)=-jcdot$$sign(omega)$$cdotU(omega)$.
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