Oscillazioni forzate smorzate
Salve, ho un problema con un esercizio.
Ho un sistema ad un grado di libertà (smorzamento al 5%) a cui è applicata una forzante esterna sinusoidale (100 kN) e pulsazione di 10 1/s.
Nessun problema nello scrivere l'equazione di equilibrio del sistema e quella che regola il moto. Come faccio a calcolare le condizioni iniziali necessarie per annullare il termine transitorio?
$ x(t)= e^(-nu omega t) (AsenOmega t+BcosOmega t)+ x_s N sen (omega 't-varphi ) $
$ x'(t)= e^(-nu omega t) (Omega AcosOmega t-Omega BsenOmega t)- nu omega e^(-nu omega t) (AsenOmega t+ BcosOmega t) + omega ' x_s N cos (omega 't-varphi ) $
Grazie per l'attenzione
Ho un sistema ad un grado di libertà (smorzamento al 5%) a cui è applicata una forzante esterna sinusoidale (100 kN) e pulsazione di 10 1/s.
Nessun problema nello scrivere l'equazione di equilibrio del sistema e quella che regola il moto. Come faccio a calcolare le condizioni iniziali necessarie per annullare il termine transitorio?
$ x(t)= e^(-nu omega t) (AsenOmega t+BcosOmega t)+ x_s N sen (omega 't-varphi ) $
$ x'(t)= e^(-nu omega t) (Omega AcosOmega t-Omega BsenOmega t)- nu omega e^(-nu omega t) (AsenOmega t+ BcosOmega t) + omega ' x_s N cos (omega 't-varphi ) $
Grazie per l'attenzione
Risposte
Il transitorio è dato dalle condizioni iniziali da cui parti - lo stato a regime.
per cui per avere la condizione iniziale devi fare $ xt(t)= x0 - xr --> x0= xr+xt $
per cui per avere la condizione iniziale devi fare $ xt(t)= x0 - xr --> x0= xr+xt $
Grazie per la risposta.
In questo esercizio come dati ho: massa, rigidezza, smorzamento, forza esterna e pulsazione della forza esterna.
Per risolvere l'esercizio (condizioni iniziali necessarie per annullare il termine transitorio) avrei bisogno di impostare il problema. Come faccio? Dovrei calcolare le costanti A e B? Se sì, come? Non riesco a capire questo passaggio (o forse l'esercizio).
In questo esercizio come dati ho: massa, rigidezza, smorzamento, forza esterna e pulsazione della forza esterna.
Per risolvere l'esercizio (condizioni iniziali necessarie per annullare il termine transitorio) avrei bisogno di impostare il problema. Come faccio? Dovrei calcolare le costanti A e B? Se sì, come? Non riesco a capire questo passaggio (o forse l'esercizio).
Se non sbaglio nel tuo primo post hai dimenticato di derivare di nuovo così da ottenere le relazioni che legano le forze del sistema,cioè devi derivare di nuovo la legge del moto.
Fatto questo ottieni delle forze, per cui puoi calcolare la risposta a regime vedendo che per t-> inf il termine con gli esponenziali va a zero e ottieni un'equazione in cui ti ricavi la xr (regime).
Dopodiché ti manca il transitorio, ora io sono studente di automazione quindi forse per dire la stessa cosa usiamo linguaggi diversi, comunque provo a spiegare bene: sai che xr+xt = xf (movimento forzato) dove il movimento forzato è quello che hai dato il forzamento sinusoidale che ti è noto, per cui, una volta ottenuta xr, avendo già xf puoi ottenere xt=xf-xr ...
Da qui puoi ricavare x0.
Spero di essermi fatto capire, ripeto, io sono di automazione quindi parliamo due linguaggi diversi ma che giungono alle stesse soluzioni, probabilmente stai studiando meccanica applicata
Fatto questo ottieni delle forze, per cui puoi calcolare la risposta a regime vedendo che per t-> inf il termine con gli esponenziali va a zero e ottieni un'equazione in cui ti ricavi la xr (regime).
Dopodiché ti manca il transitorio, ora io sono studente di automazione quindi forse per dire la stessa cosa usiamo linguaggi diversi, comunque provo a spiegare bene: sai che xr+xt = xf (movimento forzato) dove il movimento forzato è quello che hai dato il forzamento sinusoidale che ti è noto, per cui, una volta ottenuta xr, avendo già xf puoi ottenere xt=xf-xr ...
Da qui puoi ricavare x0.
Spero di essermi fatto capire, ripeto, io sono di automazione quindi parliamo due linguaggi diversi ma che giungono alle stesse soluzioni, probabilmente stai studiando meccanica applicata
Grazie, ora provo ad applicare i tuoi suggerimenti. Nel mio caso sto studiando dinamica delle strutture.
Fammi sapere, spero di essere stato di aiuto.
Sono uno stupido o, forse, avevo solo la mia testa ingolfata da troppe nozioni che non mi permettevano di ragionare.
Ho le equazioni che mi regolano il moto:
$ x(t)= e^(-nu omega t) (AsenOmega t+BcosOmega t)+ x_s N sen (omega 't-varphi ) $
$ x'(t)= e^(-nu omega t) (Omega AcosOmega t-Omega BsenOmega t)- nu omega e^(-nu omega t) (AsenOmega t+ BcosOmega t) + omega ' x_s N cos (omega 't-varphi ) $
Vado a ricavare le costanti A e B ponendo t uguale a zero.
$ B=x_0+x_s N senvarphi $
$ A= (x'_0+upsilon omega B - x_sNcosvarphi )/(Omega ) $
Ora, per scegliere le condizioni iniziali in maniera tale da avere come soluzione solo l'iintegrale particolare, pongo uguale a zero A e B ottenendo dalle ultime due precedenti i valori di spostamento e velocità iniziali necessarie per annullare il transitorio.
Ho le equazioni che mi regolano il moto:
$ x(t)= e^(-nu omega t) (AsenOmega t+BcosOmega t)+ x_s N sen (omega 't-varphi ) $
$ x'(t)= e^(-nu omega t) (Omega AcosOmega t-Omega BsenOmega t)- nu omega e^(-nu omega t) (AsenOmega t+ BcosOmega t) + omega ' x_s N cos (omega 't-varphi ) $
Vado a ricavare le costanti A e B ponendo t uguale a zero.
$ B=x_0+x_s N senvarphi $
$ A= (x'_0+upsilon omega B - x_sNcosvarphi )/(Omega ) $
Ora, per scegliere le condizioni iniziali in maniera tale da avere come soluzione solo l'iintegrale particolare, pongo uguale a zero A e B ottenendo dalle ultime due precedenti i valori di spostamento e velocità iniziali necessarie per annullare il transitorio.
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