Momento d'inerzia asta inclinata

[marcook1]

Mi trovo impacciato nel risolvere questo problema: devo trovare il momento d'inerzia di quest'asta di spessore $t$ (NON sottile) di lunghezza $a$ ed inclinata di 60° rispetto all'asse x...qualcuno sa come fare il calcolo?



Grazie

[fhabbio]

Forse esistono dei metodi più facili, io farei così. Una volta che ti calcoli il momento di inezia considerando come sist. di riferimento quelli principali di inerzia, con il teorema di Huygens-Steiner mi calcolo il momento di inerzia rispetto all'asse perpendicolare all'asta passante per il punto "iniziale" (quello in basso a destra) e infine si possono ruotare gli assi di riferimento applicando le formule di rotazione degli assi coordinati.

Purtroppo ora non sono a casa mia e non ricordo le formule, se stasera non ti ha ancora risposto nessuno, vedrò di trovarti le formule che ho su degli appunti.

Si tratta di una sostituzione del tipo

$x'=x*cos(alpha)+y*sin(alpha)$
$y'=y*cos(alpha)+x*sin(alpha)$

[marcook1]

Ok grazie per lo spunto di riflessione, ho capito a quali relazioni ti riferisci (queste sono un pò errate) adesso provo e ti faccio sapere.

Grazie ancora

[marcook1]

Io ho provato, però non avendo un risultato sicuro vorrei una conferma. Allora io ho proceduto così:
ho calcolato il momento rispetto all'asse $x'$ (momento d'inerzia sia in x' che y'), poi l'ho ruotato rispetto all'asse $x''$ (così nella formula di rotazione il momento centrifugo è nullo perchè gli assi x' e y' sono baricentrici) parallelo all'asse $x$ e dopo trasposto con huygens all'asse x. Ecco lo schema e di seguito i calcoli.


$J_(x') = 1/12 a^3 t$
$J_(y') = 1/12 a t^3$
$J_(x'y') = 0$
$alpha = 30°$

$J_(x'') = J_(x') (cos( alpha))^2 + J_(y') (sin( alpha))^2 - J_(x'y') sin(2 alpha)$
$=1/12 a^3 t (sqrt(3)/2)^2 + 1/12 a t^3 (1/2 )^2 = 1/16 a^3 t + 1/48 a t^3$

Huygens: $J_x = J_(x'') + (Area) (d_y ^2) = 1/16 a^3 t + 1/48 a t^3 + at(sqrt(3)/4 a)^2 = 1/4 a^3 t + 1/48 at^3$