Momenti d'inerzia rispetto ad assi concorrenti

[Nausicaa912]

Ho un altro dubbio e voi siete speciali eheh
Dopo la dimostrazione del momento d'inerzia rispetto adun asse e scritto attraverso i momenti dei tre assi, quando và a definire l'ellissoide d'inerzia, scrive
$OP=(versU)/(sqrt(I_(u)))$
Dove u è il versore della retta rispettoa cui voglio determinare il momento e $(I_(u)$ il momento d'inerzia rispetto all'asse, appunto. OP è il vettore che congiunge l'origine del riferimento con il punto P di coordinate (x,y,z).
Ma da dove esce fuori sta cosa?

[cyd1]

l'elissoide d'inerzia è definito dall'eq $sum I_(hk) y_h y_k=1$ dove y1,2,3 = coordinate
se $v e r s u$ è la direzione della retta di cui vuoi il momento allora la retta attraverso i coseni direttori la puoi esprimere come
$y_1 = alpha_1 * u$
$y_2 = alpha_2*u$
$y_3=alpha_3*u$
con $u in (-oo,+oo)$

sostiutisci nella definizione dell'elissoide e trovi u tale da intersecarla. hai $ u^2 * sum I_(hk) alpha_h alpha_k = 1$ cioè poichè $I_U = sum I_(hk) alpha_h alpha_k$ hai $I_u*u^2 =1$ con $u^2 = sum y_k^2 = |OP|$ allora $P -O= (ve rs u)/sqrt(I_u)$