Modi di propagazione in guida d'onda!
Ciao a tutti.
Quella che vado cercando più che una dimostrazione (ma se c'è tanto meglio) è una spiegazione su cosa siano i modi di propagazione TE, TM e TEM. Da dove vengono fuori etc etc.
Purtroppo ho cercato su molti libri di testo, ma l'unica cosa ottenuta è semplicemente una rappresentazione matematica partendo da presupposti molto discutibili per giungere a conclusioni ancora più discutibili (per quanto mi riguarda).
Grazie a chiunque voglia farmi un pò di luce su un argomento così importate!
Quella che vado cercando più che una dimostrazione (ma se c'è tanto meglio) è una spiegazione su cosa siano i modi di propagazione TE, TM e TEM. Da dove vengono fuori etc etc.
Purtroppo ho cercato su molti libri di testo, ma l'unica cosa ottenuta è semplicemente una rappresentazione matematica partendo da presupposti molto discutibili per giungere a conclusioni ancora più discutibili (per quanto mi riguarda).
Grazie a chiunque voglia farmi un pò di luce su un argomento così importate!
Risposte
Prova su questo "Foundations for Microwave Engineering", 2nd Edition. Robert E. Collin, è senz'altro uno dei più autorevoli testi di propagazione guidata.
Studia l'argomento, poi se hai dei dubbi postali.
Studia l'argomento, poi se hai dei dubbi postali.
E' esattamente questo il testo che mi è decisamente poco chiaro, proverò a sintetizzare il più possibile i miei dubbi in poche e brevi domande:
1)Quando introduce i modi afferma che le soluzioni dell'equazione di Helmotz sono suddivisibili in due funzioni, una dipendente dalla coordinata longitudinale ed una dipendente invece dalle coordinare trasversali. Come mai si può fare tale affermazione?
3)Sempre nella stessa sezione della domanda 1 e, stessa pagina per altro (pag.97) afferma che lì'operatore nabla può anch'esso essere diviso in una parte trasversale ed una longitudinale nel seguente modo:
$nabla = nabla_(t) + nabla_(z)=nabla_(t)-j*beta*hat(a_z)$
Quello che non mi è chiaro è l'uso che fa di questo nabla e, poi se non ho capito male lui considera questo:
$ (del (e^(-j*beta*z))/(del z)) = -j*beta*z $
Cosa che secondo me è sbagliata. Ovviamente ho sicuramente capito male o non capito affatto però è davvero criptica come spiegazione per questi modi. Senza considerare il fatto che inoltre non si riesce a dedurre l'analogia fisica a tutti questi calcoli che sono puramente matematici.
Spero di non essermi dilungato troppo. Grazie se riuscirai a fare luce a qualsiasi mio dubbio.
1)Quando introduce i modi afferma che le soluzioni dell'equazione di Helmotz sono suddivisibili in due funzioni, una dipendente dalla coordinata longitudinale ed una dipendente invece dalle coordinare trasversali. Come mai si può fare tale affermazione?
3)Sempre nella stessa sezione della domanda 1 e, stessa pagina per altro (pag.97) afferma che lì'operatore nabla può anch'esso essere diviso in una parte trasversale ed una longitudinale nel seguente modo:
$nabla = nabla_(t) + nabla_(z)=nabla_(t)-j*beta*hat(a_z)$
Quello che non mi è chiaro è l'uso che fa di questo nabla e, poi se non ho capito male lui considera questo:
$ (del (e^(-j*beta*z))/(del z)) = -j*beta*z $
Cosa che secondo me è sbagliata. Ovviamente ho sicuramente capito male o non capito affatto però è davvero criptica come spiegazione per questi modi. Senza considerare il fatto che inoltre non si riesce a dedurre l'analogia fisica a tutti questi calcoli che sono puramente matematici.
Spero di non essermi dilungato troppo. Grazie se riuscirai a fare luce a qualsiasi mio dubbio.
Ciao Ziko, ricordo di aver avuto esattamente i tuoi stessi dubbi (se non di più) quando dovevo studiare propagazione guidata.
Spaginate di formule ed equazioni in cui il significato fisico di quello che stai studiando si perde completamente... la rappresentazione matematica di cui parli nasconde la parte "intuitiva/visualizzabile" di quello che stai cercando di capire, è un classico. Comunque provo a darti un piccolo aiuto.
Per quello che riguarda l'apparente arbitrarietà nel dire che i modi sono suddiviibili in parte e longitudinale e trasversa: è vero, si introduce una specie di restrizione che non sembra giustificata da niente. Ma il punto è che i modi funzionano come base che ti permette poi di costruire qualsiasi campo E.M., combinandoli linearmente.
E' lo stesso discorso della serie di Fourier: $x(t) = sum_k X_k e^(-j 2 \pi k f_0 t)$
Il set di esponenziali complessi $e^(-j 2 \pi k f_0 t)$ è la tua base, e si tratta appunto di un insieme di funzioni particolari, con le loro proprietà del caso che "fanno poi comodo" per lavorare con le funzioni periodiche. Con l'opportuna scelta dei coefficienti $X_k$ sei poi in grado di rappresentare qualsiasi funzione periodica.
Ecco, pensa ai modi come alla tua base e ad $x(t)$ come il campo E.M. risultante. Questo è quanto sono riuscito a capire io, all'epoca. Spero sia sensato
Spaginate di formule ed equazioni in cui il significato fisico di quello che stai studiando si perde completamente... la rappresentazione matematica di cui parli nasconde la parte "intuitiva/visualizzabile" di quello che stai cercando di capire, è un classico. Comunque provo a darti un piccolo aiuto.
Per quello che riguarda l'apparente arbitrarietà nel dire che i modi sono suddiviibili in parte e longitudinale e trasversa: è vero, si introduce una specie di restrizione che non sembra giustificata da niente. Ma il punto è che i modi funzionano come base che ti permette poi di costruire qualsiasi campo E.M., combinandoli linearmente.
E' lo stesso discorso della serie di Fourier: $x(t) = sum_k X_k e^(-j 2 \pi k f_0 t)$
Il set di esponenziali complessi $e^(-j 2 \pi k f_0 t)$ è la tua base, e si tratta appunto di un insieme di funzioni particolari, con le loro proprietà del caso che "fanno poi comodo" per lavorare con le funzioni periodiche. Con l'opportuna scelta dei coefficienti $X_k$ sei poi in grado di rappresentare qualsiasi funzione periodica.
Ecco, pensa ai modi come alla tua base e ad $x(t)$ come il campo E.M. risultante. Questo è quanto sono riuscito a capire io, all'epoca. Spero sia sensato
"Ziko":
1)Quando introduce i modi afferma che le soluzioni dell'equazione di Helmotz sono suddivisibili in due funzioni, una dipendente dalla coordinata longitudinale ed una dipendente invece dalle coordinare trasversali. Come mai si può fare tale affermazione?
E' il classico metodo della separazione delle variabili, utile per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali (come quella di Helmoltz, notare la L al centro del cognome).
Sostanzialmente uno prova a vedere se esistono soluzioni all'equazione in questione che possono scriversi come prodotto di funzioni dipendenti da una singola variabile. Poi si verifica che queste soluzioni risolvano l'equazione, e se per altra via si è dimostrato che, se esiste, la soluzione è unica, sei a posto. Si dà il caso che per l'equazione di Helmoltz vada proprio così. Qui trovi qualcosa di più su questo metodo, nella sezione "Partial Differential Equations": http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_of_variables.
Il punto 2) te lo sei perso
"Ziko":
3)Sempre nella stessa sezione della domanda 1 e, stessa pagina per altro (pag.97) afferma che lì'operatore nabla può anch'esso essere diviso in una parte trasversale ed una longitudinale nel seguente modo:
$nabla = nabla_(t) + nabla_(z)=nabla_(t)-j*beta*hat(a_z)$
Quello che non mi è chiaro è l'uso che fa di questo nabla e, poi se non ho capito male lui considera questo:
$ (del (e^(-j*beta*z))/(del z)) = -j*beta*z $
Cosa che secondo me è sbagliata.
Non è sbagliato: poiché in guida la dipendenza dei modi dalla coordinata longitudinale [tex]$z$[/tex] è del tipo [tex]$e^{-j \beta z}$[/tex], derivare rispetto a $z$ equivale di fatto a moltiplicare [tex]$\mathbf{a}_z$[/tex] per [tex]$-j \beta$[/tex]. Una cosa simile succede considerando le equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori: poiché uno suppone che le soluzioni siano del tipo [tex]$\mathbf{E}(x,y,z)=\widetilde{\mathbf{E}}_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$[/tex] e [tex]$\mathbf{H}(x,y,z)=\widetilde{\mathbf{H}}_0 e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$[/tex], si possono fare le sostituzioni [tex]$\nabla \times[\cdot] \to j \mathbf{k} \times[\cdot]$[/tex] e [tex]$\nabla \cdot [\cdot]\to j \mathbf{k} \cdot[\cdot]$[/tex]. In questo modo eviti di portarti dietro segni di derivata parziale e nabla. In particolare, quest'ultimo si riduce a quello trasverso relativo alle coordinate [tex]$x$[/tex] e [tex]$y$[/tex].
Mi rendo conto perfettamente che la matematica necessaria per lo studio delle microonde sia pesante. Tuttavia ti assicuro che prima o poi riuscirai a renderti conto di quello che vogliono dire quelle equazioni, anche dal punto di vista fisico. Di Collin ti devi fidare ciecamente (pur non senza senso critico), perché lui è un guru nel suo settore e tutto ciò che si sa sulle microonde e sulle antenne è in gran parte scritto nei suoi libri.
Innanzi tutto grazie per le risposte inquanto domande così settiriali rimangono per la maggioranza sospese in aria. E grazie per la comprensione delle mie difficoltà. Sto continuando a studiare e quindi per adesso prendo tutto quello che mi avete detto e cerco di verificarlo poi avanzerò altri dubbi (che per adesso ci sono ma non riesco a formularli).
E' esattamente quello che da qualche giorno sta nascendo nella mia mente. Che non sia nient'altro che una formulazione semplificativa delle eq. di maxwell.
Ma la derivata rispetto a z di $e^(-j*beta*z)$ non vale $ -j*beta*e^(-j*beta*z) $. Cioè dove va a finire l'esponenziale?
"Ale83":
Ma il punto è che i modi funzionano come base che ti permette poi di costruire qualsiasi campo E.M., combinandoli linearmente.
E' esattamente quello che da qualche giorno sta nascendo nella mia mente. Che non sia nient'altro che una formulazione semplificativa delle eq. di maxwell.
"elgiovo":
Non è sbagliato: poiché in guida la dipendenza dei modi dalla coordinata longitudinale [tex]$z$[/tex] è del tipo [tex]$e^{-j \beta z}$[/tex], derivare rispetto a $z$ equivale di fatto a moltiplicare [tex]$\mathbf{a}_z$[/tex] per [tex]$-j \beta$[/tex].
Ma la derivata rispetto a z di $e^(-j*beta*z)$ non vale $ -j*beta*e^(-j*beta*z) $. Cioè dove va a finire l'esponenziale?
Non stai derivando un'esponenziale, stai semplicemente facendo la sostituzione [tex]$\nabla_z=\frac{\partial }{\partial z}\to -j \beta \mathbf{a}_z$[/tex]. Questa è giustificata dal fatto che poi le funzioni da derivare saranno esponenziali in quella forma particolare.
Si dopo vari tentativi sono riuscito a spiegarmi il passaggio di tale sostituzione e devo dire che è molto intuitivo piuttosto che rigoroso. Anche se a buon senso funziona.
Ringrazio comunque tutti ;D
Ringrazio comunque tutti ;D
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