Minima frequenza di campionamento

[menteContorta]

Salve a tutti,
chi di voi potrebbe aiutarmi a trovare la minima frequenza di campionamento del segnale s(t) = sinc^4(100t) * cos(500 pi t)

Grazie!!

[elgiovo]

Qual è la banda del segnale?

[menteContorta]

E' proprio quella che non riesco a calcolare!!!
Facendo la trasformata di Fourier otterrei la convoluzione di tre segnali giusto?
Altrimenti come lo sdoppio il sinc^4 ??

[elgiovo]

Ok, quindi il tuo problema è calcolare la trasformata. Per darti un aiuto, ti faccio presente che \(\displaystyle \text{sinc}^2(t) \) ha come trasformata un triangolo, quindi la trasformata di \(\displaystyle \text{sinc}^4(t) \) è la convoluzione di due triangoli (facile). Il coseno poi shifta semplicemente lo spettro in frequenza, quindi non devi preoccuparti di trasformarlo.

Ad ogni modo, non è necessario nemmeno calcolare la convoluzione dei due triangoli, perché non ti interessa la trasformata intera ma solo la sua banda. Se convolvi due triangoli con un certo "supporto" (la banda) in frequenza, qual è il supporto della convoluzione?

[menteContorta]

Ok,fin qui ci sono! Otterrei la convoluzione di due triangoli precisamente 1/100 tr (f/100) * 1/100 tr (f/100)
dove con * indico la convoluzione
La banda totale dovrebbe essere 200, giusto?
Come influisce il coseno?

[elgiovo]

Si se non sbaglio se convolvi due spettri uguali ottieni una banda doppia. Il coseno sposta tutto lo spettro in frequenza di una quantità $f_0$ fissata, è una proprietà delle modulazioni. La banda del segnale complessivo quindi è...?

[menteContorta]

200???

[elgiovo]

Se la banda del \(\displaystyle \text{sinc}^4 (t) \) è 200 (non ho fatto i conti, mi fido dei tuoi), la banda di \(\displaystyle \text{sinc}^4 (t) \cos(2\pi f_0 t)\) non può essere 200, perché come ti ho detto sopra hai shitato il segnale in frequenza. La tua nuova banda viene ampliata di conseguenza. Per il teorema del campionamento non devi vedere i segnali come passa-banda, ma in banda base. Per scegliere la f di campionamento, quindi, devi andare a vedere qual è la frequenza massima \(\displaystyle f_{max} \) tale per cui per \(\displaystyle f > f_{max} \) lo spettro è sempre nullo.

[Demostene92]

Scusate se mi intrometto, normalmente non è mia intenzione, ma vorrei solo far notare a menteContorta che in generale un triangolo $\Lambda(ftext{/}T)$ ha durata $2T$ e non $T$, come il rettangolo, perchè $T$ è solo la parte che si trova a destra (sinistra) del punto in cui il triangolo è centrato.