[Metodi matematici]

[Bunnyy1]

Ciao ragazzi! Devo calcolare i coefficienti della serie di Laurent della funzione $ f(z)=1/(z^2-3z+2) $ . Ho cercato di ricondurmi a serie geometriche.
$ f(z)=1/(z^2-3z+2)=1/((z-2)(z-1))=-1/(z-1)+1/(z-2)=1/z(-1/(1-1/z))+1/z(1/(1-2/z))=-1/zsum_(k>= 0) (1/z)^k+1/zsum_(k>= 0)(2/z)^k=-1/zsum_(k< 0) (z)^k+1/zsum_(k< 0)(z/2)^k=-sum_(k< 0) (z)^(k-1)+sum_(k< 0)(z/2)^(k-1)=-sum_(k< -1) (z)^(k)+sum_(k< -1)(z/2)^(k) $
Ho provato a fare così ma non torna come nelle soluzioni, non so cosa sbaglio, pensavo che esercizi di questo tipo mi riuscissero Spero che qualcuno di voi mi aiuti, vi ringrazio anticipatamente

[anonymous_0b37e9]

Ho cercato di ricondurmi a serie geometriche ...

In questo modo:

Polo del 1° ordine $z=1$

$-1/(z-1)+1/(z-2)=-1/(z-1)-1/(1-(z-1))$

Polo del 1° ordine $z=2$

$1/(z-2)-1/(z-1)=1/(z-2)-1/(1+(z-2))$

Radice del 2° ordine $z=oo$

$-1/(z-1)+1/(z-2)=1/z(-1/(1-1/z)+1/(1-2/z))=1/z(-\sum_{n=0}^{+oo}1/z^n+\sum_{n=0}^{+oo}2^n/z^n)=\sum_{n=0}^{+oo}(2^n-1)/z^(n+1)$

[Bunnyy1]

Dovrebbe tornare $ -sum_(k<0) z^k-sum_(k>=0)1/(2^(k+1)) z^k $ ... non capisco proprio come faccia a tornare così

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$lim_(z->oo)1/(z^2-3z+2)=0$

lo sviluppo in serie di Laurent, relativo al punto all'infinito, non può comprendere potenze con esponente positivo:

$\sum_{n=0}^{+oo}(2^n-1)/z^(n+1)=1/z^2+3/z^3+7/z^4+15/z^5+...$

[Bunnyy1]

okay grazie