[Meccanica razionale] matrice cinematica
Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria civile e sto preparando l'esame di Meccanica Razionale. Premetto che non ho seguito il corso perchè lavoro e purtroppo sto studiando da autodidatta ma sta diventando veramente complicato, anche perchè il libro che ho è poco chiaro (almeno per me XD). Fatte le dovute premesse, vi descrivo il problema:
Sono alle prime pagine del libro, dove per ora si sono date le definizioni di
Grado di libertà
Labilità
Vincolo di rigidità
Ora l'autore del testo passa a rassegna tutti i vincoli (cerniera, carrello, ecc)
Dopo aver spiegato sommariamente il vincolo cerniera, introduce un esempio di cui allego l'immagine:
ora giustamente fa queste osservazioni:
$d_(xA)=0, d_(xB)=0, d_(yA)=0, d_(yB)=0$
considerando il vincolo di rigidità ($dP = dA + dvarphi_z xx (P - A)$)
si ricava:
$d_(xB)=d_(xA) - dvarphi_z (y_B -y_A)$
$d_(y_B)=d_(yA) + dvarphi_z (x_B - x_A)$
Il testo continua cosi...
Conclude spiegando che la trave è una volta iperstatica...
Io non ho capito da dove esce la matrice cinematica (questa è una domanda banale credo però non voglio rimanere con il dubbio)
Grazie
EDIT:
ovviamente ho capito che la matrice cinematica che ha ottenuto e riferita alle quattro equazioni
$d_(xA)=0, d_(yA)=0, d_(xA)-dvarphi_z (y_B-y_A)=0, d_(yA)+dvarphi_z (xB-xA)=0 $
quello che non ho capito è da dove sono uscite
Sono alle prime pagine del libro, dove per ora si sono date le definizioni di
Grado di libertà
Labilità
Vincolo di rigidità
Ora l'autore del testo passa a rassegna tutti i vincoli (cerniera, carrello, ecc)
Dopo aver spiegato sommariamente il vincolo cerniera, introduce un esempio di cui allego l'immagine:
ora giustamente fa queste osservazioni:
$d_(xA)=0, d_(xB)=0, d_(yA)=0, d_(yB)=0$
considerando il vincolo di rigidità ($dP = dA + dvarphi_z xx (P - A)$)
si ricava:
$d_(xB)=d_(xA) - dvarphi_z (y_B -y_A)$
$d_(y_B)=d_(yA) + dvarphi_z (x_B - x_A)$
Il testo continua cosi...
Perciò, in funzione degli stessi parametri lagrangiani, per esempio $d_(xA)=0, d_(yA)=0, dvarphi_z $ le equazioni dei vicoli diventano $d_(xA)=0, d_(yA)=0, d_(xA)-dvarphi_z (y_B-y_A)=0, d_(yA)+dvarphi_z (xB-xA)=0 $ e per la matrice cinematica si ha
$ [ ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , x_B-x_A ),( 1 , 0 , y_A-y_B ) ] $
Conclude spiegando che la trave è una volta iperstatica...
Io non ho capito da dove esce la matrice cinematica (questa è una domanda banale credo però non voglio rimanere con il dubbio)
Grazie
EDIT:
ovviamente ho capito che la matrice cinematica che ha ottenuto e riferita alle quattro equazioni
$d_(xA)=0, d_(yA)=0, d_(xA)-dvarphi_z (y_B-y_A)=0, d_(yA)+dvarphi_z (xB-xA)=0 $
quello che non ho capito è da dove sono uscite
Risposte
Anche se non sembra ma hai la soluzione sotto gli occhi.
La matriche ha rispettivamente per colonne i coefficienti di questi valori in ordine: $ d_(xA), d_(yA), dvarphi_z $
Se uno di questi valori non è presente c'è lo 0, altrimenti c'è il coefficiente... in sostanza è come segue.
La prima equazione $ d_(xA)=0 $ è una equazione di un solo membro (il primo da me citato), di coefficiente 1, gli altri termini incogniti non ci sono quindi sono uguali a 0, ecco perche la riga è 1,0,0
La seconda equazione $ d_(yA)=0 $ ha solo il secondo membro, quindi
ha come riga 0,1,0
La terza equazione $ d_(xA)-dvarphi_z (y_B-y_A)=0 $ quindi
ha come riga 1,0, $-(y_B-y_A) $
L'ultima equazione $ d_(yA)+dvarphi_z (xB-xA)=0 $
ha come riga 0,1, $ (xB-xA) $
(Ho seguito l'ordine delle equazioni così come le hai date, anche se nella matrice le ultime due righe sono invertite)
La matriche ha rispettivamente per colonne i coefficienti di questi valori in ordine: $ d_(xA), d_(yA), dvarphi_z $
Se uno di questi valori non è presente c'è lo 0, altrimenti c'è il coefficiente... in sostanza è come segue.
La prima equazione $ d_(xA)=0 $ è una equazione di un solo membro (il primo da me citato), di coefficiente 1, gli altri termini incogniti non ci sono quindi sono uguali a 0, ecco perche la riga è 1,0,0
La seconda equazione $ d_(yA)=0 $ ha solo il secondo membro, quindi
ha come riga 0,1,0
La terza equazione $ d_(xA)-dvarphi_z (y_B-y_A)=0 $ quindi
ha come riga 1,0, $-(y_B-y_A) $
L'ultima equazione $ d_(yA)+dvarphi_z (xB-xA)=0 $
ha come riga 0,1, $ (xB-xA) $
(Ho seguito l'ordine delle equazioni così come le hai date, anche se nella matrice le ultime due righe sono invertite)
Grazie per la risposta. Mi sono espresso male. Io vorrei solo capire come ha ottenuto quelle equazioni, nel senso che è partito considerando:
Due equazioni per la cerniera in A
Due equazioni per la cerniera in B
Due equazioni ottenute introducendo il vincolo di rigidità
In totale si hanno 6 equazioni ma nella matrice cinematica ne ha inserito solo 4, perchè?
Due equazioni per la cerniera in A
Due equazioni per la cerniera in B
Due equazioni ottenute introducendo il vincolo di rigidità
In totale si hanno 6 equazioni ma nella matrice cinematica ne ha inserito solo 4, perchè?
ALLORA le equazioni derivano dal vincolo di rigidità che hai scritto in forma vettoriale poi hai sviluppato nel piano.....
In sostanza (detto in maniera molto molto semplice) per ogni corpo rigido puoi scegliere un unico punto che lo rappresenta. Questo deriva dalla definizione di corpo rigido. Ogni altro punto può essere espresso in funzione delle coordinate del punto scelto.
Il tuo esempio è composto da un unico corpo rigido,un' asta (con tre gradi di libertà, quindi tre equazioni), che è soggetta a due vincoli:
Appoggio in A (2gradi di vincolo)
Appoggio in B (2gradi di vincolo)
Per definire cinematicamente la struttura, so che l appoggio non fa traslare verticalmente, e non fa traslare orizzontalmente (2equazioni).
Quindi gli spostamenti infinitesimali nella direzione X e nella direzione Y, rappresentati dalle derivate parziali sono uguali a 0.
Come scrivo quest ecose?
Il vincolo in A lo definisci con due equazioni $ d_(XA)=0 $ e $ d_(YA)=0 $.
Il vincolo in B allo stesso modo viene definito da due equazioni analoghe $ d_(XB)=0 $ e $ d_(YB)=0 $.
Tuttavia essendo l'asta un corpo rigido,come già detto, i vincoli possono essere rappresentati con le coordinate di un unico punto. Cinematicamente questo vuol dire che le equazioni dei vincoli possono essere scritte in funzione delle coordinate di un solo punto della asta non due.
Se scelgo le coordinate di A,posso scrivere le coordinate di B in funzione di A: $ d_(XB)=d_(xA)-θ(y_(B)-y_(A) )$ per la traslazione orizzontale e $ d_(YB)=d_(YA)+θ(x_(B)-x_(A) )$ per quella verticale.
Quando hai più corpi rigidi hai più coordinate indipendenti.
L'asta nel piano ha tre gradi di libertà (verso x,verso y, e rotazione θ) il vincolo in A toglie due gradi di libertà, il vincolo in B altri due gradi di libertà per un totale di 4, ecco perché è una volta iperstatico (i gradi di vincolo superano di 1unità i gradi di liberta).
In sostanza (detto in maniera molto molto semplice) per ogni corpo rigido puoi scegliere un unico punto che lo rappresenta. Questo deriva dalla definizione di corpo rigido. Ogni altro punto può essere espresso in funzione delle coordinate del punto scelto.
Il tuo esempio è composto da un unico corpo rigido,un' asta (con tre gradi di libertà, quindi tre equazioni), che è soggetta a due vincoli:
Appoggio in A (2gradi di vincolo)
Appoggio in B (2gradi di vincolo)
Per definire cinematicamente la struttura, so che l appoggio non fa traslare verticalmente, e non fa traslare orizzontalmente (2equazioni).
Quindi gli spostamenti infinitesimali nella direzione X e nella direzione Y, rappresentati dalle derivate parziali sono uguali a 0.
Come scrivo quest ecose?
Il vincolo in A lo definisci con due equazioni $ d_(XA)=0 $ e $ d_(YA)=0 $.
Il vincolo in B allo stesso modo viene definito da due equazioni analoghe $ d_(XB)=0 $ e $ d_(YB)=0 $.
Tuttavia essendo l'asta un corpo rigido,come già detto, i vincoli possono essere rappresentati con le coordinate di un unico punto. Cinematicamente questo vuol dire che le equazioni dei vincoli possono essere scritte in funzione delle coordinate di un solo punto della asta non due.
Se scelgo le coordinate di A,posso scrivere le coordinate di B in funzione di A: $ d_(XB)=d_(xA)-θ(y_(B)-y_(A) )$ per la traslazione orizzontale e $ d_(YB)=d_(YA)+θ(x_(B)-x_(A) )$ per quella verticale.
Quando hai più corpi rigidi hai più coordinate indipendenti.
L'asta nel piano ha tre gradi di libertà (verso x,verso y, e rotazione θ) il vincolo in A toglie due gradi di libertà, il vincolo in B altri due gradi di libertà per un totale di 4, ecco perché è una volta iperstatico (i gradi di vincolo superano di 1unità i gradi di liberta).
La rigidità ti dà:
- due equazioni per A
- due equazioni per B con le coordinate di A (perché è un corpo rigido)
In sostanza le ultime due equazioni delle 6 da te citate non ci sono.
- due equazioni per A
- due equazioni per B con le coordinate di A (perché è un corpo rigido)
In sostanza le ultime due equazioni delle 6 da te citate non ci sono.
Perfetto era la risposta che cercavo!Ora ho capito!Grazieeeeee 
io non ho capito perche il simbolo $ varphi $ una volta è negativo e l'altra positivo. Ho capito che ha a che fare con spostamento e rotazione ma meccanicamente non riesco a comprendere
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