[Meccanica Razionale] Inerzia
Salve a tutti,
Ho quest'esercizio:
dove ho calcolato facilmente il baricentro; il problema però sorge quando devo calcolare gli assi centrali e principali di inerzia dato che il prof non ha detto come si calcolano :/
Mentre l'angolo del quale devono ruotare x e y l'ho trovato usando la formula
$tg(2a)= 2 (I_(xy))/(I_(yy) - I_(x x))$
Ho quest'esercizio:
dove ho calcolato facilmente il baricentro; il problema però sorge quando devo calcolare gli assi centrali e principali di inerzia dato che il prof non ha detto come si calcolano :/
Mentre l'angolo del quale devono ruotare x e y l'ho trovato usando la formula
$tg(2a)= 2 (I_(xy))/(I_(yy) - I_(x x))$
Risposte
Ciao provo a risponderti,
allora una coppia di assi si dicono centrali e principali d'inerzia quando i momenti centrifughi calcolati rispetto a tali assi sono nulli e tali assi hanno origine nel centro d'area.
Il procedimento analitico richiede questi passaggi:
1) determinazione del centro d'area;
2) calcolo dei momenti d'inerzia (Ix', Iy', Ix'y') rispetto a un sistema di riferimento ausiliario (x', y') centrato in G;
3) applichi la formula per determinare l'angolo cui devi ruotare tali assi per renderli principali d'inerzia, dato che centrali già lo sono visto che la loro origine è nel centro d'area.
In questo caso puoi però semplificarti la vita dato che la figura presenta un asse di simmetria, quindi basterà centrare gli assi x' e y' in G e ruotarli di un angolo pari a -45, poichè l'asse che passa per O e lo spigolo del quadrato non segnato è proprio un asse di simmetria.
Per quanto riguarda l'ellisse centrale d'inerzia devi andare a calcolarti i raggi giratori d'inerzia rispetto agli assi centrali e principali.
allora una coppia di assi si dicono centrali e principali d'inerzia quando i momenti centrifughi calcolati rispetto a tali assi sono nulli e tali assi hanno origine nel centro d'area.
Il procedimento analitico richiede questi passaggi:
1) determinazione del centro d'area;
2) calcolo dei momenti d'inerzia (Ix', Iy', Ix'y') rispetto a un sistema di riferimento ausiliario (x', y') centrato in G;
3) applichi la formula per determinare l'angolo cui devi ruotare tali assi per renderli principali d'inerzia, dato che centrali già lo sono visto che la loro origine è nel centro d'area.
In questo caso puoi però semplificarti la vita dato che la figura presenta un asse di simmetria, quindi basterà centrare gli assi x' e y' in G e ruotarli di un angolo pari a -45, poichè l'asse che passa per O e lo spigolo del quadrato non segnato è proprio un asse di simmetria.
Per quanto riguarda l'ellisse centrale d'inerzia devi andare a calcolarti i raggi giratori d'inerzia rispetto agli assi centrali e principali.
Ti ringrazio anticipatamente per la risposta purtroppo però ho ancora dei dubbi,
Per centro d'area intendi il centro di massa?
Quindi basta che trovo il centro di massa prendo due assi ortogonali in quel punto quindi saranno centrali mentre per renderli principali basta ruotarli di quel angolo ottenuto con l'arcotagente giusto?
Ho ottenuto l'angolo ed è proprio pi/4 come hai fatto a capirlo? Cioè basta dividere la figura in due parti simmetriche e l'angolo che forma quella retta è l'angolo per cui devo ruotare il sistema con origine nel centro di massa? Inoltre come capisco se devo ruotarli di + o - 45?
Per quando riguardo l'ellisse di cullman per trovare i giratori di inerzia dice che devo trovare i momenti di inerzia rispetto a una retta r ma in questo caso devo trovarli rispetto al sistema che ha centro nel centro di massa e ruotato di 45 gradi? E che formula dovrei applicare?
Ti ringrazio nuovamente per l'aiuto che mi stai fornendo
Per centro d'area intendi il centro di massa?
Quindi basta che trovo il centro di massa prendo due assi ortogonali in quel punto quindi saranno centrali mentre per renderli principali basta ruotarli di quel angolo ottenuto con l'arcotagente giusto?
Ho ottenuto l'angolo ed è proprio pi/4 come hai fatto a capirlo? Cioè basta dividere la figura in due parti simmetriche e l'angolo che forma quella retta è l'angolo per cui devo ruotare il sistema con origine nel centro di massa? Inoltre come capisco se devo ruotarli di + o - 45?
Per quando riguardo l'ellisse di cullman per trovare i giratori di inerzia dice che devo trovare i momenti di inerzia rispetto a una retta r ma in questo caso devo trovarli rispetto al sistema che ha centro nel centro di massa e ruotato di 45 gradi? E che formula dovrei applicare?
Ti ringrazio nuovamente per l'aiuto che mi stai fornendo
up
Eccoci;
allora per quanto riguarda la definizione di baricentro, il baricentro è il centro d'area dato che dai dati del problema non ci sono masse in gioco ma solo porzioni d'area. Poi nel caso in cui ci siano masse in gioco e la densità del corpo è costante il centro di massa e quello d'area coincidono (cmq se cerchi su google troverai un sacco di materiale al riguardo).
Per quanto riguarda la domanda [Quindi basta che trovo il centro di massa prendo due assi ortogonali in quel punto quindi saranno centrali mentre per renderli principali basta ruotarli di quel angolo ottenuto con l'arcotagente giusto?] la risposta è: si basta che ttrovi il centro d'area in esso prendi due assi ortogonali e avrai un sistema centrale e per renderlo principale d'inerzia dovrai ruotarlo dell'angolo che ti viene fuori dalla formuletta.
Ho capito che era pi/quarti perchè se un asse è asse di simmetria della figura è sicuramente asse principale d'inerzia per definizione (NB: non sempre c'è simmetria, però se c'è simmetria sicuramente tale asse sarà principale d'inerzia).
lo capisci proprio dalla formula dell'arco tangente perchè se hai svolto bene i calcoli ti doveva venire meno pi/quarti (cioè ruotato in senso orario di 45 gradi); la formula ti dirà se dovrai ruotarlo positivamente o negativamente.
Adesso nel sistema centrale e principale d'inerzia calcolerai i raggi giratori d'inerzia. La formula se scrivi su internet la trovi e trovi anche tanta teoria al riguardo (non ho ancora capito bene come funzionano le formule su questo forum XD).
allora per quanto riguarda la definizione di baricentro, il baricentro è il centro d'area dato che dai dati del problema non ci sono masse in gioco ma solo porzioni d'area. Poi nel caso in cui ci siano masse in gioco e la densità del corpo è costante il centro di massa e quello d'area coincidono (cmq se cerchi su google troverai un sacco di materiale al riguardo).
Per quanto riguarda la domanda [Quindi basta che trovo il centro di massa prendo due assi ortogonali in quel punto quindi saranno centrali mentre per renderli principali basta ruotarli di quel angolo ottenuto con l'arcotagente giusto?] la risposta è: si basta che ttrovi il centro d'area in esso prendi due assi ortogonali e avrai un sistema centrale e per renderlo principale d'inerzia dovrai ruotarlo dell'angolo che ti viene fuori dalla formuletta.
Ho capito che era pi/quarti perchè se un asse è asse di simmetria della figura è sicuramente asse principale d'inerzia per definizione (NB: non sempre c'è simmetria, però se c'è simmetria sicuramente tale asse sarà principale d'inerzia).
lo capisci proprio dalla formula dell'arco tangente perchè se hai svolto bene i calcoli ti doveva venire meno pi/quarti (cioè ruotato in senso orario di 45 gradi); la formula ti dirà se dovrai ruotarlo positivamente o negativamente.
Adesso nel sistema centrale e principale d'inerzia calcolerai i raggi giratori d'inerzia. La formula se scrivi su internet la trovi e trovi anche tanta teoria al riguardo (non ho ancora capito bene come funzionano le formule su questo forum XD).
l'angolo a me si trova facendo
$(arctan (oo))/2$=$pi/4$
cioè ruotato in senso antiorario
Inoltre per i giratori di inerzia no ho trovato esempi sennò non ero qui a chiedere
P.S. per scrivere le formule basta che includi le scritte tra due simboli di "dollaro" poi per provare se hai fatto bene usa il pulsante anteprima !
$(arctan (oo))/2$=$pi/4$
cioè ruotato in senso antiorario
Inoltre per i giratori di inerzia no ho trovato esempi sennò non ero qui a chiedere
P.S. per scrivere le formule basta che includi le scritte tra due simboli di "dollaro" poi per provare se hai fatto bene usa il pulsante anteprima !
Per quanto riguarda i raggi giratori di inerzia ti allego uno screenshot delle mie dispense di meccanica dei solidi;(NB: ricorda che i momenti d'inerzia che compaiono nella formula per il calcolo dei raggi giratori d'inerzia vanno calcolati rispetto agli assi centrali e principali d'inerzia)
Per quanto riguarda l'angolo è corretto pi/4 positivo quindi in senso antiorario: se ci ragioni un attimo se ruoti in senso antiorario di 45° gradi l'asse x che hai nel testo dell'esercizio diventa asse di simmetria, quindi principale d'inerzia!! (Che scemo
)Cmq nel futuro se sei sicuro dei tuoi calcoli dovrai ruotare positivamente o negativamente in base all'angolo che ti viene dalla formula.
Ciaaaao!
Hai sbagliato ad allegare mi sa xD
Ho un ultimo dubbio :
mentre gli assi principali centrali sono paralleli a 0xy ma hanno centro nel baricentro
quelli principali sono centrati nell'origine e inclinati dell'angolo t ?
Ho un ultimo dubbio :
mentre gli assi principali centrali sono paralleli a 0xy ma hanno centro nel baricentro
quelli principali sono centrati nell'origine e inclinati dell'angolo t ?
No ho allegato bene, i raggi giratori sono quei ρ al quadrato, basta dividere per l'area A.
Cmq una terna è centrale quando è applicata nel baricentro e diretta come le pare. É principale d'inerzia quando i momenti centrifughi sono nulli, cioè quando l'omografia d'inerzia è una matrice diagonale, (quindi nel caso nostro quando ruoti Oxy di 45°), mentre è centrale e principale d'inerzia quando è centrata nel baricentro (centrale) e ha momenti centrifughi nulli (principale d'inerzia).
Cmq una terna è centrale quando è applicata nel baricentro e diretta come le pare. É principale d'inerzia quando i momenti centrifughi sono nulli, cioè quando l'omografia d'inerzia è una matrice diagonale, (quindi nel caso nostro quando ruoti Oxy di 45°), mentre è centrale e principale d'inerzia quando è centrata nel baricentro (centrale) e ha momenti centrifughi nulli (principale d'inerzia).
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