[Meccanica delle macchine] Velocità media del pistone.

[StellaMartensitica]

Salve,
Vorrei provare a dimostrare la formula della velocità media di uno stantuffo che si muove secondo la legge del sistema biella-manovella, formula quest'ultima che sono già arrivato a dimostrare (con l'aiuto del Giacosa). Il sistema e i simboli sono quelli presenti nella figura che allego.

Per farla breve con $L$ indico la lunghezza della biella, con $r$ il raggio di manovella, $c$ è la corsa, $\beta$ è l'angolo che l'asse della biella forma con quello del cilindro, $\alpha=\omega * t$ lo spostamento angolare della manovella rispetto al P.M.S. e $x(t)$ lo spostamento dello stantuffo.
Alla fine arrivo alla legge oraria con considerazioni trigonometriche, ho infatti:
$x(t)=r+L-r*cos(\omega * t)-sqrt(L^2 - r^2*sin^2( \omega *t))$
Poi ho derivato per ottenere la legge con cui varia la velocità:
$v(t)= \omega * r *sin (\omega *t) + 1/2 *((\omega *r^2 * sin ( 2* \omega *t))/sqrt(L^2-r^2 * sin^2( \omega * t)))$
Come faccio a trovare adesso la formula della velocità media, quella insomma per cui alla fine si arriva a:
$v_m=(2*c*n)/60$ (con $n$ regime in giri al minuto)
Avevo pensato di applicare il teorema del valor medio e calcolare appunto la velocità media con quello, sapendo la legge $v(t)$, ma tra che estremi dovrei integrare? Ho pensato tra $0$ e $T$ con $T$ periodo della funzione $x'(t)$ (ma come faccio a trovare il periodo di quell'espressione?).
Mi sa che è un po' impegnativa la richiesta ma se potete datemi dei suggerimenti e poi, ovviamente, i calcoli li faccio io. Mi sarebbe fondamentale sapere come si calcola il periodo, comunque.
Volendo non è neanche un esercizio che riguarda l'ingegneria, forse non è la sezione giusta.
Grazie a quanti mi potranno aiutare.

[xnix]

non puoi fare una media tra le velocità massima e minima raggiunta dal pistone ?

http://www.kaemart.it/lab-prog-cad/piac ... atica.html

guarda qui.. dati gli angoli dove si ha la $V$ massima e minima fai una media tra le due

[StellaMartensitica]

Si... Non ci avevo pensato. Quindi verrebbe così:
$ v(t)= \omega * r *sin (\omega *t) + 1/2 *((\omega *r^2 * sin ( 2* \omega *t))/sqrt(L^2-r^2 * sin^2( \omega * t))) $

$v(\alpha)= \omega* r* sin(\alpha)+0.5((\omega*r^2*sin(2\alpha))/sqrt(L^2-r^2*sin^2( \alpha))) = \omega * (dx(\alpha))/(d\alpha)$
Applico il teorema del valor medio e ottengo la velocità media in un giro di manovella:
$v_m= (\omega/(2*pi))*(\int_0^(pi) v(\alpha)d \alpha -\int_pi^(2*pi) v(\alpha)d \alpha) $

$v_m=(\omega/(2*pi))*(x(pi)-x(0)-x(2pi)+x(pi))=(\omega/(2pi))*2r$

Saluti e grazie.

[xnix]

Prego