[Meccanica applicata] Rotazione successive riferimenti
Buongiorno, ho alcune dispense in cui sto studiando in cui viene ripreso il concetto di rotazione dei riferimenti.
In pratica se ho 3 sistemi di riferimento {A} (assoluto),{B} ,{C} e ho un punto (o vettore) generico P avrò (perdonatemi la scrittura estesa ma non so come si inseriscono pedici o il riferimento di rappresentazione che viene messo davanti a P in alto):
1) P rappresentato in {C}: $ P{C} $
2) per rappresentare P in {B} dovrò avere: $ (R{C}rarr {B}) * P{C} $
3) per rappresentare P in dovrò avere: $ (R{B}rarr {A}) * P{B} $
Dove con $ R{M}rarr {N} $ si intende la matrice rotazione dal riferimento M a N generici in questo caso.
Quindi avrò: $ P{A} = (R{C}rarr {A}) * P{C} $ con $ R{C}rarr {A} = (R{B}rarr {A}) * (R{C}rarr {B}) $
Spero sia chiaro.
Si parla nel caso inverso (in cui da riferimento assoluto voglio rappresentare in riferimento locale C) di post-moltiplicazione e pre-moltiplicazione, ma non capisco cosa si intende ... di fatto le matrici per fare l'inverso non sono le stesse (anche se hanno legami).
In pratica se ho 3 sistemi di riferimento {A} (assoluto),{B} ,{C} e ho un punto (o vettore) generico P avrò (perdonatemi la scrittura estesa ma non so come si inseriscono pedici o il riferimento di rappresentazione che viene messo davanti a P in alto):
1) P rappresentato in {C}: $ P{C} $
2) per rappresentare P in {B} dovrò avere: $ (R{C}rarr {B}) * P{C} $
3) per rappresentare P in dovrò avere: $ (R{B}rarr {A}) * P{B} $
Dove con $ R{M}rarr {N} $ si intende la matrice rotazione dal riferimento M a N generici in questo caso.
Quindi avrò: $ P{A} = (R{C}rarr {A}) * P{C} $ con $ R{C}rarr {A} = (R{B}rarr {A}) * (R{C}rarr {B}) $
Spero sia chiaro.
Si parla nel caso inverso (in cui da riferimento assoluto voglio rappresentare in riferimento locale C) di post-moltiplicazione e pre-moltiplicazione, ma non capisco cosa si intende ... di fatto le matrici per fare l'inverso non sono le stesse (anche se hanno legami).
Risposte
provo a rispondermi ... credo che con pre-moltiplicare si intenda moltiplicare da destra verso sinistra, e post-moltiplicare il contrario ...
In ogni caso non capisco perchè si debba post-moltiplicare ??
Faccio un ipotesi giustificata da niente (quindi probabilmente errata), post-moltiplicando le stesse matrici usate sopra (cioè moltiplicando da sinistra verso destra) posso passare dal riferimento assoluto a quello locale?
Ossia (perdonatemi di nuovo la scrittura, sperando che sia leggibile):
$ P{C} = (R{A}rarr {C}) * P{A} $ con $ R{A}rarr {C} = (R{B}rarr {A}) * (R{C}rarr {B}) $ (stessa identica di prima ma post-moltiplicando)
In ogni caso non capisco perchè si debba post-moltiplicare ??
Faccio un ipotesi giustificata da niente (quindi probabilmente errata), post-moltiplicando le stesse matrici usate sopra (cioè moltiplicando da sinistra verso destra) posso passare dal riferimento assoluto a quello locale?
Ossia (perdonatemi di nuovo la scrittura, sperando che sia leggibile):
$ P{C} = (R{A}rarr {C}) * P{A} $ con $ R{A}rarr {C} = (R{B}rarr {A}) * (R{C}rarr {B}) $ (stessa identica di prima ma post-moltiplicando)
Mi rispondo da solo qualora qualcuno volesse intervenire ... premesso che ho parecchia confusione, in letteratura trovo:
Non capisco perchè venga fatta questa distinzione tra fissa e mobile ... dipende da come sono espresse le matrici rotazione secondo me.
Ho ri-scritto il tutto a mano nell'immagine seguente
La composizione di matrici di trasformazione omogenee si effettua utilizzando il prodotto matriciale secondo le leggi viste per la composizione di rotazioni, cioè: • per pre‐moltiplicazione pre moltiplicazione di matrici espresse rispetto ad una terna fissa; • per post‐moltiplicazione di matrici espresse rispetto alla terna corrente.
Non capisco perchè venga fatta questa distinzione tra fissa e mobile ... dipende da come sono espresse le matrici rotazione secondo me.
Ho ri-scritto il tutto a mano nell'immagine seguente
Ciao,
io sono d’accordo con quanto scrivi: dove chiedi “È corretto?”, io direi di sì. Mi sembra corretto.
In più, aggiungo che dalla matrice per passare da un sistema X ad uno Y (che può essere scritta come prodotto di matrici intermedie, come hai correttamente scritto), puoi calcolare velocemente quella per passare da Y ad X come l’inversa della prima. In più, le matrici di trasformazioni sono spesso ortogonali, quindi la loro inversa coincide con la loro trasposta, quindi il calcolo è ancora più veloce.
io sono d’accordo con quanto scrivi: dove chiedi “È corretto?”, io direi di sì. Mi sembra corretto.
In più, aggiungo che dalla matrice per passare da un sistema X ad uno Y (che può essere scritta come prodotto di matrici intermedie, come hai correttamente scritto), puoi calcolare velocemente quella per passare da Y ad X come l’inversa della prima. In più, le matrici di trasformazioni sono spesso ortogonali, quindi la loro inversa coincide con la loro trasposta, quindi il calcolo è ancora più veloce.
OK grazie, un parere in più è confortante 
Cerco di fare ordine.
CASO 1
- si consideri un corpo rigido solidale a una terna S0
- si ruoti il corpo fino a far coincidere la terna iniziale con una nuova terna S1 (la matrice rotazione è quindi espressa in termini di S0 per forza di cose)
- si ruoti di nuovo il corpo rigido in maniera tale che la terna S1 coincida con una nuova terna S2 considerando la matrice rotazione espressa ancora in funzione si S0
In questo caso si parla di rotazione rispetto ad assi fissi e le rotazioni vanno composta con a pre-moltiplicazione.
CASO 2
- si consideri un corpo rigido solidale a una terna S0
- si ruoti il corpo fino a far coincidere la terna iniziale con una nuova terna S1 (la matrice rotazione è quindi espressa in termini di S0 per forza di cose)
- si ruoti di nuovo il corpo rigido in maniera tale che la terna S1 coincida con una nuova terna S2 considerando la matrice rotazione espressa in funzione si S1
In questo caso si parla di rotazione rispetto ad assi mobili (la matrice rotazione viene espressa ogni volta rispetto a un riferimento diverso) e le rotazioni vanno composte con a post-moltiplicazione.
Cerco di fare ordine.
CASO 1
- si consideri un corpo rigido solidale a una terna S0
- si ruoti il corpo fino a far coincidere la terna iniziale con una nuova terna S1 (la matrice rotazione è quindi espressa in termini di S0 per forza di cose)
- si ruoti di nuovo il corpo rigido in maniera tale che la terna S1 coincida con una nuova terna S2 considerando la matrice rotazione espressa ancora in funzione si S0
In questo caso si parla di rotazione rispetto ad assi fissi e le rotazioni vanno composta con a pre-moltiplicazione.
CASO 2
- si consideri un corpo rigido solidale a una terna S0
- si ruoti il corpo fino a far coincidere la terna iniziale con una nuova terna S1 (la matrice rotazione è quindi espressa in termini di S0 per forza di cose)
- si ruoti di nuovo il corpo rigido in maniera tale che la terna S1 coincida con una nuova terna S2 considerando la matrice rotazione espressa in funzione si S1
In questo caso si parla di rotazione rispetto ad assi mobili (la matrice rotazione viene espressa ogni volta rispetto a un riferimento diverso) e le rotazioni vanno composte con a post-moltiplicazione.
Perché dici che c’è una post-moltiplicazione nel CASO 2? La formula finale è sempre nella forma matrice*vettore, non vettore*matrice.
"Thememe1996":
Perché dici che c’è una post-moltiplicazione nel CASO 2? La formula finale è sempre nella forma matrice*vettore, non vettore*matrice.
La moltiplicazione è tra matrici in ogni caso, la direzione in cui si moltiplica cambia
Se ho 2 matrici rotazione:
$R_(A)$ e $R_(B)$
Faccio prima una rotazione rispetto ad $R_(A)$ e poi rispetto a $R_(B)$, il problema è che la seconda rotazione $R_(B)$ potrebbe essere espressa:
1) o rispetto al sistema di riferimento iniziale fisso (in questo caso parliamo di rotazione rispetto a riferimenti fissi)
2) o rispetto al sistema di riferimento ruotato (da $R_(A)$) (in questo caso parliamo di rotazione rispetto riferimenti mobili)
CASO 1(riferimenti fissi)
In questo caso la matrice di rotazione complessiva viene espressa da
$R_(A->B)=R_(B)*R_(A)$
Si definisce nel gergo pre-moltiplicazione
CASO 2(riferimenti mobili)
In questo caso la matrice di rotazione complessiva viene espressa da
$R_(A->B)=R_(A)*R_(B)$
Si definisce nel gergo post-moltiplicazione
E' più che altro un discorso di notazione, infatti in entrambi i casi la matrice di rotazione complessiva potrebbe essere espressa allo stesso modo:
$R_(A->B)=R_(A)*R_(B)$
Con la consapevolezza che:
-nel caso in cui la rotazione avviene per sistemi fissi va usata la regola del caso UNO (ossia moltiplicare $R_(B)*R_(A)$ per avere un unica matrice di rotazione (si moltiplica da destra verso sinistra)
- nel caso in cui la rotazione avviene per sistemi mobili va usata la regola del caso DUE (ossia moltiplicare $R_(A)*R_(B)$ per avere un unica matrice di rotazione (si moltiplica da sinistra verso destra)
$R_(A)$ e $R_(B)$
Faccio prima una rotazione rispetto ad $R_(A)$ e poi rispetto a $R_(B)$, il problema è che la seconda rotazione $R_(B)$ potrebbe essere espressa:
1) o rispetto al sistema di riferimento iniziale fisso (in questo caso parliamo di rotazione rispetto a riferimenti fissi)
2) o rispetto al sistema di riferimento ruotato (da $R_(A)$) (in questo caso parliamo di rotazione rispetto riferimenti mobili)
CASO 1(riferimenti fissi)
In questo caso la matrice di rotazione complessiva viene espressa da
$R_(A->B)=R_(B)*R_(A)$
Si definisce nel gergo pre-moltiplicazione
CASO 2(riferimenti mobili)
In questo caso la matrice di rotazione complessiva viene espressa da
$R_(A->B)=R_(A)*R_(B)$
Si definisce nel gergo post-moltiplicazione
E' più che altro un discorso di notazione, infatti in entrambi i casi la matrice di rotazione complessiva potrebbe essere espressa allo stesso modo:
$R_(A->B)=R_(A)*R_(B)$
Con la consapevolezza che:
-nel caso in cui la rotazione avviene per sistemi fissi va usata la regola del caso UNO (ossia moltiplicare $R_(B)*R_(A)$ per avere un unica matrice di rotazione (si moltiplica da destra verso sinistra)
- nel caso in cui la rotazione avviene per sistemi mobili va usata la regola del caso DUE (ossia moltiplicare $R_(A)*R_(B)$ per avere un unica matrice di rotazione (si moltiplica da sinistra verso destra)
Ok, sono d’accordo.
Nel dire “pre” o “post” intendi l’ordine con cui svolgi il prodotto tra le matrici.
Nel dire “pre” o “post” intendi l’ordine con cui svolgi il prodotto tra le matrici.
"Thememe1996":
Ok, sono d’accordo.
Nel dire “pre” o “post” intendi l’ordine con cui svolgi il prodotto tra le matrici.
Non è che lo intendo io ... è definito proprio così .. se era per me non avrebbe avuto nemmeno un nome
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