[Meccanica applicata] Matrici di Smorzamento e di Rigidezza

[Thememe1996]

Buongiorno,

vorrei chiedervi se poteste aiutarmi con le matrici di smorzamento e di rigidezza di un sistema meccanico a più gradi di libertà. In particolare, vorrei chiedervi di aiutarmi a capire come dedurre le proprietà delle suddette matrici: ad esempio, se una di esse è simmetrica, che proprietà conferisce al sistema meccanico? Se è definita positiva, invece? Se non lo è? Se è sia simmetrica che definita positiva?
Ho cercato ovunque, ma non riesco a trovare una risorsa che affronti tutte le casistiche possibili.
Inoltre, vi vorrei chiedere se è corretto affermare che una matrice di rigidezza definita positiva conserva l’energia potenziale del sistema, mentre se non lo è allora può introdurre energia nel sistema, e se una matrice di smorzamento definita positiva dissipi energia, mentre una non definita positiva possa introdurre energia nel sistema.

Vi chiederei se poteste aiutarmi con questo argomento, potendomi illustrare i vari scenari possibili e che effetti hanno sul sistema.

Vi ringrazio in anticipo!

[Magma1]

Il teorema spettrale generalizzato afferma che, date due matrici $\mathbf{K,M}$ simmetriche con $\mathbf M$ definita positiva, allora esiste $\mathbf W$ invertibile tale che:

$ \mathbf {W^{-1} KW =\mathbf W^{-1}MW\Lambda $

... ti dice niente? Perché conviene fare questo cambio di coordinate?

P.S. Il fatto che una matrice simmetrica sia definita positiva, assicura che sia invertibile; perché?

[Thememe1996]

Ciao,

ti ringrazio per l’aiuto.
Provo a scendere più nel dettaglio del mio dubbio.
Se ho un sistema meccanico privo di smorzamento e ne scrivo le equazioni di moto linearizzate in forma matriciale, posso determinare con certezza se il sistema è stabile o meno nell’intorno della posizione rispetto a cui ho linearizzato le equazioni. Posso farlo calcolandone gli autovalori e verificando il segno della parte reale.

Il problema sorge quando c’è anche uno smorzamento, perciò si aggiunge una matrice in più, e calcolare gli autovalori analiticamente diventa impossibile nella maggior parte dei casi.
Così ci è stato detto a lezione e ci sono state fornite solo considerazioni del tipo:
1) se le matrici di rigidezza e smorzamento sono simmetriche e definite positive, il sistema è sempre stabile
2) se la matrice di rigidezza non è definita positiva, può esserci instabilità statica (può, non c’è)
3) se la matrice di smorzamento non è definita positiva, può esserci instabilità dinamica (può, non c’è)
ed altre considerazioni simili; cioè, a parte la 1), le altre sono solo condizioni potenziali, non certe.

Quindi chiedo: analiticamente, in un caso con smorzamento, devo limitarmi a considerazioni qualitative sulla stabilità, o posso invece concludere con certezza su un certo risultato?

[Magma1]

"Thememe1996":
Quindi chiedo: analiticamente, in un caso con smorzamento, devo limitarmi a considerazioni qualitative sulla stabilità, o posso invece concludere con certezza su un certo risultato?

Si possono fare delle ipotesi sulla matrice di smorzamento, ad esempio lo smorzamento alla Rayleigh considera una matrice $\mathbf C$ come combinazione lineare:

$\mathbf C=\alpha \mathbf M +\beta \mathbf K$

quindi lo smorzamento risulta:

$ \zeta=\frac{\alpha}{2\omega}+\frac{\beta\omega}{2}$

[Thememe1996]

Ti ringrazio per la risposta.
In effetti così ci si ridurrebbe ad un sistema con solo matrici di massa e rigidezza e quindi risolvibile in stabilità.

Ma senza questa ipotesi quindi non potrei concludere niente?

[Magma1]

Le ipotesi si fanno per semplificare i calcoli, ma si può sempre eseguire un'analisi complessa volendo; però di questo non saprei dirti di più . Penso che sul libro del Chopra ci sia qualcosa a riguardo

[Thememe1996]

Va bene, ti ringrazio per l’assistenza!