[Meccanica applicata] Esercizio freno a nastro
Buongiorno, oggi volevo chiedervi un parere su un esercizio di Meccanica Applicata, che sono riuscito a risolvere solo parzialmente. Il problema riguarda un freno a nastro (posto l'immagine sotto, così potete vedere la traccia e la figura). Preciso che nella traccia vengono forniti dei dati in più, nel senso che i coefficienti elastico e anelastico della corda non si devono usare. Detto questo passo a illustrarvi il mio procedimento:
Con un equilibrio al momento sulla trave ho trovato che ($T_1$ è la tensione trasmessa dalla porzione destra del nastro) $T_1 = P*(a+b)/a$ = 2533 N. Dopodiché ho utilizzato la famosa relazione valida per i freni a nastro, secondo cui i rapporti tra le tensioni a destra e a sinistra ($T_2$ = tensione a sinistra) seguono un trend esponenziale proporzionale al coefficiente di attrito e all'angolo di avvolgimento: visto che in questo caso la parte sinistra di nastro è inclinata di $alpha$, ho pensato che la componente di tensione che "spinge in basso" in modo tangente al tamburo sia inclinata di $90° - alpha$, quindi l'angolo di avvolgimento totale è di $pi - (90° - alpha)$ = 150°. Da qui: $(T_2*cos(90-alpha))/(T_1) = e^(f*vartheta)$ = 1,778.
La coppia frenante dovrebbe quindi essere, per un equilibrio alla rotazione: $M = D_2/2*T_1*(e^(f*vartheta) - 1)$ = 788 Nm, risultato che combacia con quello del libro.
Allora ho scritto un equilibrio alla rotazione per il tamburo complessivo, trovando così che la coppia frenante deve equilibrare il momento della forza peso della massa legata al tamburo più piccolo: questo mi dà la "coppia totale", che ho pensato di dividere per il momento di inerzia per trovare la decelerazione del sistema. In formule: $(M - ((mg)*D_1/2))/I$ = (788-721)/(52) = 1,288 rad/s^2 in modulo.
Infine ho diviso la velocità angolare (dove 32 giri/min dovrebbe essere = 3,35 rad/s) per la decelerazione angolare, trovando un tempo di 2,6 secondi. Il libro invece propone 3,2 secondi, e non riesco a capire come mai. I coefficienti elastico e anelastico è scritto di non usarli nella errata corrige del testo, quindi non capisco bene dove sia il problema, anche perché la coppia frenante è venuta corretta (puro caso?).
Mi affido alla vostra sapienza, illuminatemi please
Grazie a tutti in anticipo!
Ecco la traccia:
Con un equilibrio al momento sulla trave ho trovato che ($T_1$ è la tensione trasmessa dalla porzione destra del nastro) $T_1 = P*(a+b)/a$ = 2533 N. Dopodiché ho utilizzato la famosa relazione valida per i freni a nastro, secondo cui i rapporti tra le tensioni a destra e a sinistra ($T_2$ = tensione a sinistra) seguono un trend esponenziale proporzionale al coefficiente di attrito e all'angolo di avvolgimento: visto che in questo caso la parte sinistra di nastro è inclinata di $alpha$, ho pensato che la componente di tensione che "spinge in basso" in modo tangente al tamburo sia inclinata di $90° - alpha$, quindi l'angolo di avvolgimento totale è di $pi - (90° - alpha)$ = 150°. Da qui: $(T_2*cos(90-alpha))/(T_1) = e^(f*vartheta)$ = 1,778.
La coppia frenante dovrebbe quindi essere, per un equilibrio alla rotazione: $M = D_2/2*T_1*(e^(f*vartheta) - 1)$ = 788 Nm, risultato che combacia con quello del libro.
Allora ho scritto un equilibrio alla rotazione per il tamburo complessivo, trovando così che la coppia frenante deve equilibrare il momento della forza peso della massa legata al tamburo più piccolo: questo mi dà la "coppia totale", che ho pensato di dividere per il momento di inerzia per trovare la decelerazione del sistema. In formule: $(M - ((mg)*D_1/2))/I$ = (788-721)/(52) = 1,288 rad/s^2 in modulo.
Infine ho diviso la velocità angolare (dove 32 giri/min dovrebbe essere = 3,35 rad/s) per la decelerazione angolare, trovando un tempo di 2,6 secondi. Il libro invece propone 3,2 secondi, e non riesco a capire come mai. I coefficienti elastico e anelastico è scritto di non usarli nella errata corrige del testo, quindi non capisco bene dove sia il problema, anche perché la coppia frenante è venuta corretta (puro caso?).
Mi affido alla vostra sapienza, illuminatemi please
Grazie a tutti in anticipo!Ecco la traccia:
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