[Meccanica applicata] Esercizio
Buonasera,
avrei bisogno di una conferma su questo esercizio, di cui allego la figura.
Sono noti la geometria del sistema e la velocità angolare del corpo rigido 5, che è costante ($omega_5$). Non ci sono dati numerici, la risoluzione è solo per via di formule e grafica.
Mi viene chiesta innanzitutto la velocità angolare del corpo 1 ($omega_1$). Per questa ho pensato di usare il teorema dei moti relativi, istituendo un sistema di riferimento solidale al corpo 1, con centro in $A$, a velocità nulla e possedente velocità e accelerazione angolare di trascinamento uguali a quelle del corpo ($omega_t=omega_1$ e $alpha_t=alpha_1$.
Quindi la velocità di $E$, pari in modulo a $omega_5EF$ e ortogonale a $EF$ (visto che $EF$ è una manovella), è a sua volta pari alla velocità relativa, di modulo ignoto e parallela ad $AB$, più quella di trascinamento di modulo pari a $omega_1AE$ e ortogonale ad $AE$. Faccio il triangolo delle velocità e quindi so trovare virtualmente la velocità di trascinamento di E($v_{t_E}$). Da lì poi trovo $omega_1=v_{t_E}/(AE)$ e dalla figura il verso mi viene antiorario.
Devo poi trovare la velocità del punto $D$. Qui uso invece la formula fondamentale della cinematica per i punti $C$ e $D$, sapendo la che la velocità assoluta di $C$ è pari a $omega_1AC$?
Grazie a chi può aiutarmi
Risposte
Guarda, io non ho studiato meccanica, ma alla fine il problema e' un "banale" problema geometrico, risolvibile con le tecniche comuni della geometria.
Adesso io non conosco il teorema dei moti relativi, ma alla fine si deve pervenire allo stesso risultato.
Ad es:...
Fissiamo un sistema di coordinate $xy$ con centro in $A$.
La posizione di $E$ e' :
$E = (\cos \alpha_5 + x_F, -\sin \alpha_5 + y_F)$
L'angolo di $E$:
$\hat E = arctan ((-\sin \alpha_5 + y_F)/(\cos \alpha_5 + x_F))$
La distanza $AE$
$AE = \sqrt((\cos \alpha_5 + x_F)^2 + (-\sin \alpha_5 + y_F)^2)$
Poi bisogna risolvere il triangolo $ABE$.
E' meglio sostituirlo con un triangolo rettangolo $AB'E$, di cui $EB'$ si trova semplicemente con $EB' = EB sin \hat{EBC}$.
A questo punto l'angolo $\hat (EAB)$ e':
$\hat (EAB) = \arcsin ((EB')/(AE))$
Infine l'angolo dell'asta $1$, $\alpha_1$
$\alpha_1 = \hat E - \hat (EAB)$
A questo punto possiamo gia' esplicitare $\alpha_1$ in funzione di $\alpha_5$ ovvero
$\alpha_1 = arctan ((-\sin \alpha_5 + y_F)/(\cos \alpha_5 + x_F)) - \arcsin ((EB sin \hat{EBC})/(\sqrt((\cos \alpha_5 + x_F)^2 + (-\sin \alpha_5 + y_F)^2)))$
dove tutte le variabili sono note tranne $\alpha_5$ che e' la variabile indipendente.
Abbiamo quindi la relazione che cerchiamo
$\omega_1 = (d\alpha_1)/(d\alpha_5) \omega_5$
dove bisogna derivare l'espressione di $\alpha_1$, che diventa decisamente tediosa, ma credo che questo esercizio sia per impostare le equazioni solamente.
Per la velocita' di $D$ si trova prima la posizione relativa di $D$, $x_D$ in funzione di $\alpha_1$.
E' bene calcolare prima la distanza di $A$ dall'asse su cui si muove $D$, chiamiamola $d_{AD}$.
E' necessario anche conoscere l'angolo di inclinazione dell'asse di $D$, $\alpha_D$
$x_D = \sqrt{(l_2)^2 - |d_{DA} - l_1 \sin (\alpha_1-\alpha_D)|^2} + l_1 \cos (\alpha_1-\alpha_D)$
da cui
$v_d = (dx_D)/(d\alpha_1)\omega_1$.
L'espressione finale e':
$v_d = (dx_D)/(d\alpha_1)(d\alpha_1)/(d\alpha_5) \omega_5$
Adesso io non conosco il teorema dei moti relativi, ma alla fine si deve pervenire allo stesso risultato.
Ad es:...
Fissiamo un sistema di coordinate $xy$ con centro in $A$.
La posizione di $E$ e' :
$E = (\cos \alpha_5 + x_F, -\sin \alpha_5 + y_F)$
L'angolo di $E$:
$\hat E = arctan ((-\sin \alpha_5 + y_F)/(\cos \alpha_5 + x_F))$
La distanza $AE$
$AE = \sqrt((\cos \alpha_5 + x_F)^2 + (-\sin \alpha_5 + y_F)^2)$
Poi bisogna risolvere il triangolo $ABE$.
E' meglio sostituirlo con un triangolo rettangolo $AB'E$, di cui $EB'$ si trova semplicemente con $EB' = EB sin \hat{EBC}$.
A questo punto l'angolo $\hat (EAB)$ e':
$\hat (EAB) = \arcsin ((EB')/(AE))$
Infine l'angolo dell'asta $1$, $\alpha_1$
$\alpha_1 = \hat E - \hat (EAB)$
A questo punto possiamo gia' esplicitare $\alpha_1$ in funzione di $\alpha_5$ ovvero
$\alpha_1 = arctan ((-\sin \alpha_5 + y_F)/(\cos \alpha_5 + x_F)) - \arcsin ((EB sin \hat{EBC})/(\sqrt((\cos \alpha_5 + x_F)^2 + (-\sin \alpha_5 + y_F)^2)))$
dove tutte le variabili sono note tranne $\alpha_5$ che e' la variabile indipendente.
Abbiamo quindi la relazione che cerchiamo
$\omega_1 = (d\alpha_1)/(d\alpha_5) \omega_5$
dove bisogna derivare l'espressione di $\alpha_1$, che diventa decisamente tediosa, ma credo che questo esercizio sia per impostare le equazioni solamente.
Per la velocita' di $D$ si trova prima la posizione relativa di $D$, $x_D$ in funzione di $\alpha_1$.
E' bene calcolare prima la distanza di $A$ dall'asse su cui si muove $D$, chiamiamola $d_{AD}$.
E' necessario anche conoscere l'angolo di inclinazione dell'asse di $D$, $\alpha_D$
$x_D = \sqrt{(l_2)^2 - |d_{DA} - l_1 \sin (\alpha_1-\alpha_D)|^2} + l_1 \cos (\alpha_1-\alpha_D)$
da cui
$v_d = (dx_D)/(d\alpha_1)\omega_1$.
L'espressione finale e':
$v_d = (dx_D)/(d\alpha_1)(d\alpha_1)/(d\alpha_5) \omega_5$
Ti ringrazio molto per l'impegno profuso, anch'io se potessi risolverei tutto con l'approccio matematico, visto che ne sono un grandissimo fan (ho amato modelli matematici per la meccanica).
L'approccio risolutivo richiesto dalla docente è pero di tipo fisico, tipo la foto in questo link: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&t=205625
Alla fine nulla di calcoloso, la vera difficoltà è nel capire il meccanismo in sé
L'approccio risolutivo richiesto dalla docente è pero di tipo fisico, tipo la foto in questo link: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&t=205625
Alla fine nulla di calcoloso, la vera difficoltà è nel capire il meccanismo in sé
"marco02":
Ti ringrazio molto per l'impegno profuso, anch'io se potessi risolverei tutto con l'approccio matematico, visto che ne sono un grandissimo fan (ho amato modelli matematici per la meccanica).
L'approccio risolutivo richiesto dalla docente è pero di tipo fisico, tipo la foto in questo link: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&t=205625
Alla fine nulla di calcoloso, la vera difficoltà è nel capire il meccanismo in sé
Onestamente non capisco.
Non e' che ci sono 10 modi diversi per risolvere questo esercizio.
Alla fine si deve arrivare a una formula uguale a quella che ho scritto io.
Non e' che ci si puo' girare molto intorno.
Di questo teorema dei moti relativi non si trova nulla in rete. Si trovano le voci relative ai moti relativi, in pratica e' la composizione vettoriale delle velocita' che e' quello che ho fatto io.
Non capisco neanche cosa significa che la docente vuole un approccio di tipo fisico.
Nel link che hai messo non c'e' una formula esplicita.
Per approccio fisico si intende capire il funzionamento del meccanismo (non a caso il corso è meccanica applicata) e impostare le equazioni (che siano la formula fondamentale della cinematica, teorema di Rivals e moti relativi) da risolvere graficamente (triangolo delle velocità, poligono delle accelerazioni) senza formule risolutive, né numeri, usando solo i dati noti in figura.
Il tutto sta nell'usare la formula giusta che deve essere tradotta in un disegno altrettanto corretto, come nella foto del link allegato.
Il tutto sta nell'usare la formula giusta che deve essere tradotta in un disegno altrettanto corretto, come nella foto del link allegato.
Ciao marco02
Sono molto arrugginito, ma ricordo ancora qualcosa del Metodo delle Proiezioni.
In particolare se hai calcolato la velocità assoluta del punto C, puoi proiettarla e calcolare la componente della velocità $V_(C2)$ lungo la manovella 2. Questa sarà anche la velocità $V_(D3)$ che proiettata nella direzione di D ti fornisce la velocità del punto D.
Spero che ti sia utile.
Sono molto arrugginito, ma ricordo ancora qualcosa del Metodo delle Proiezioni.
In particolare se hai calcolato la velocità assoluta del punto C, puoi proiettarla e calcolare la componente della velocità $V_(C2)$ lungo la manovella 2. Questa sarà anche la velocità $V_(D3)$ che proiettata nella direzione di D ti fornisce la velocità del punto D.
Spero che ti sia utile.
"marco02":
Qui uso invece la formula fondamentale della cinematica per i punti $C$ e $D$, sapendo la che la velocità assoluta di $C$ è pari a $omega_1AC$?
Grazie a chi può aiutarmi
Si, è sufficiente per riuscire a disegnare il triangolo delle velocità.
Hai una velocità completamente nota ($vecv_c$) e delle altre due conosci le direzioni
"marco02":
velocità relativa, di modulo ignoto e parallela ad $AB$
Invece questo non mi torna, la direzione della velocità relativa di E rispetto ad A non mi sembra parallela ad AB. Nel senso che non mi sembra che si possa dire a priori solo guardando il disegno
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