Linearità sistemi tempo-discreti
Salve,
avrei dei dubbi su come verificare la linearità di sistemi tempo-discreti.
Consideriamo dunque \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle y_n \) sequenze tempo discrete.
Se \(\displaystyle y_n = T[x_n] \) allora il sistema è lineare se \(\displaystyle T[a x'_n + b x''_n] = a T[x'_n] + b T[x''_n]\)
(che significa che è valida la sovrapposizione degli effetti).
Ora però, applicare questa definizione ad un esercizio mi crea dei problemi:
Il sistema \(\displaystyle y_n = x_n + k y_{n-1} \) è lineare?
Mio tentativo di risoluzione:
\(\displaystyle T[a x'_n + b x''_n] = a x'_n + b x''_n + k y_{n-1} \)
\(\displaystyle a T[x'_n] + b T[x''_n] = a x'_n + a k y_{n-1} + b x''_n + b k y_{n-1} \)
siccome \(\displaystyle T[a x'_n + b x''_n] \not= a T[x'_n] + b T[x''_n]\) direi che il sistema non è linare, peccato che invece la soluzione dica il contrario.
Il dubbio che sia errata la soluzione fornita sorge anche perché la condizione necessaria per la linarità: \(\displaystyle T[0]=0 \) sembrerebbe violata.
Infatti, applicandola all'esercizio dovrebbe tornare: \(\displaystyle T[0]= 0 + k y_{n-1} \) dunque sistema non lineare.
Grazie mille a chiunque voglia spiegarmi se sbaglio io o il libro.
avrei dei dubbi su come verificare la linearità di sistemi tempo-discreti.
Consideriamo dunque \(\displaystyle x_n \) e \(\displaystyle y_n \) sequenze tempo discrete.
Se \(\displaystyle y_n = T[x_n] \) allora il sistema è lineare se \(\displaystyle T[a x'_n + b x''_n] = a T[x'_n] + b T[x''_n]\)
(che significa che è valida la sovrapposizione degli effetti).
Ora però, applicare questa definizione ad un esercizio mi crea dei problemi:
Il sistema \(\displaystyle y_n = x_n + k y_{n-1} \) è lineare?
Mio tentativo di risoluzione:
\(\displaystyle T[a x'_n + b x''_n] = a x'_n + b x''_n + k y_{n-1} \)
\(\displaystyle a T[x'_n] + b T[x''_n] = a x'_n + a k y_{n-1} + b x''_n + b k y_{n-1} \)
siccome \(\displaystyle T[a x'_n + b x''_n] \not= a T[x'_n] + b T[x''_n]\) direi che il sistema non è linare, peccato che invece la soluzione dica il contrario.
Il dubbio che sia errata la soluzione fornita sorge anche perché la condizione necessaria per la linarità: \(\displaystyle T[0]=0 \) sembrerebbe violata.
Infatti, applicandola all'esercizio dovrebbe tornare: \(\displaystyle T[0]= 0 + k y_{n-1} \) dunque sistema non lineare.
Grazie mille a chiunque voglia spiegarmi se sbaglio io o il libro.
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