Insieme dei tempi di un sistemi dinamico - [Teoria sistemi]

[Shaka11]

Sul libro 'Teoria dei sistemi' di Balestrino - Celentano (pagina 22-23) si legge che

[tex]\mathcal{T}[/tex], "insieme dei tempi" di un sistema dinamico, è "un sottoinsieme ordinato di [tex]\mathbb{R}[/tex]";

inoltre (pagina 32) si definisce un sistema discreto come "un sistema per cui l'insieme dei tempi [tex]\mathcal{T}[/tex] è un insieme discreto, generalmente coincidente con l'insieme dei numeri interi relativi [tex]\mathbb{Z}[/tex]".


Mi chiedo:

- Per "ordinato" si intende un insieme totalmente ordinato o anche parzialmente ordinato?

- Per i sistemi dinamici discreti presentati sui libri sui libri e nei corsi di Automatica (Teoria dei sistemi, Controlli automatici, ...)

e.g. [tex]\left\{\begin{array}{l}x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)\\y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)\end{array}[/tex]

l'insieme dei tempi può essere un sottoinsieme ordinato discreto di [tex]\mathbb{R}[/tex] qualsiasi (e.g. [tex]\{1, 1.5, 2.66, 5, ...\}[/tex])

oppure dev'essere di norma l'insieme [tex]\mathbb{Z}[/tex]?

[gugo82]

Per quanto riguarda l'ordine, non saprei; probabilmente dipende da cosa rappresentano i modelli.

Per quanto riguarda i sistemi discreti, quello che ti poni è secondo me un "falso problema" poichè, detto molto rozzamente, ogni successione crescente si può mettere in corrispondenza con [tex]$\mathbb{N}$[/tex] (se è dotata di minimo) o con [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] (se non è dotata di minimo).

Però non sono un esperto, quindi ti conviene aspettare conferme da chi ne sà più di me.


P.S.: Ingegneria a Napoli?

[Shaka11]

I modelli di cui parliamo sono generici: possono rappresentare qualsiasi fenomeno, processo, apparecchio.

Riguardo al secondo quesito, è importante la natura dell'insieme e quindi se i campioni delle grandezze in gioco sono equidistanti o meno, avendo tali modelli un riscontro fisico.

PS: Ingegneria non a Napoli ma con professori da Napoli.

[gugo82]

L'importanza della natura dell'insieme degli indici è solo fisica, non matematica; visto che quella che proponi è una definizione matematica di "sistema discreto", che i punti siano equidistanti o meno non importa un granché.

Ovviamente, rinnovo il consiglio di aspettare conferme.

[elgiovo]

Secondo me non ha molto senso considerare insiemi che, seppur discreti, contengono numeri reali (fermo restando ciò che dice gugo sulla possibilità di metterli in bigezione con [tex]$\mathbb{N}$[/tex]), perché il modello discreto si applica a sistemi che agiscono "per passi", o macchine a stati. Un esempio che mi viene in mente è il codificatore convoluzionale. In pratica questo è costituito da un registro a scorrimento e da varie connessioni. Applicando al codificatore la teoria dei sistemi discreti (si sfrutta la z-trasformata) uno si chiede quale sia l'uscita al passo [tex]$(k+1)$[/tex]-esimo, dato l'ingresso al passo [tex]$k$[/tex]-esimo e al passo [tex]$(k+1)$[/tex]-esimo (ma possono servire anche passi antecedenti). Penso che sarebbe solo un inutile artificio considerare robe del tipo "il passo 1.1-esimo"...

[Shaka11]

Sono d'accordo.

Però mi rimane sempre un grande dubbio:

Diciamo che di norma l'insieme dei tempi di un sistema discreto è [tex]\mathbb{Z}[/tex].

Supponiamo che [tex]\mathbb{Z}[/tex] sia in corrispondenza con un insieme discreto di numero reali non equidistanti tra loro, ovvero che si utilizzi un passo di discretizzazione/campionamento non costante;

Sarebbero ancora valido modelli di sistemi dinamici discreti come [tex]\left\{\begin{array}{l}x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)\\y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)\end{array}[/tex] e tutta la teoria attorno?