[Idraulica] Esercizio di statica dei fluidi
Ciao a tutti!
Vorrei chiedervi se secondo voi è corretta la mia risoluzione di questo esercizio, dato che io non ho la soluzione.
Mi interesserebbe soprattutto capire se ho messo i SEGNI giusti nelle equazioni.
[img]http:[/img]
(E' richiesta una risoluzione esclusivamente algebrica, senza dati numerici o calcoli)
Il serbatoio in figura è circolare, di diametro $D$ e contiene un fluido $gamma_1$. L'indicazione del manometro metallico sul fondo è $n<0$ in BAR, quindi il fluido è in depressione. Il tappo del serbatoio ha peso specifico $gamma_S$ e può scorrere senza attriti, ed è collegato tramite un filo inestensibile e carrucole fisse a un recipiente $R$, che contiene un fluido di peso specifico $gamma_2$.
(l'ho disegnato male, ma il filo passa per l'asse centrale del serbatoio e del tappo).
Conoscendo i valori di:
$gamma_1$
$gamma_S$
$D$
$n<0$ BAR
e supponendo di conoscere la geometria del sistema (cioè lunghezze, volumi e aree), determinare il peso specifico $gamma_2$ che assicuri l'equilibrio.
Io ho innanzitutto tracciato il piano dei carichi idrostatici sotto al fondo del serbatoio, e il diagramma delle pressioni.
Poi ho applicato l'equazione integrale della statica ai seguenti volumi di controllo:
[img]http:[/img]
------------------------------------------------------------------
Riguardo al tappo:
Equilibrio statico $ul(G)_R+ul(G)_S+ul(Pi)_1=0$
$G_R = gamma_2 W'_R$ forza peso che si trasmette attraverso il filo, $W'_R$ è il solo volume occupato dal fluido $gamma_2$ nel recipiente R
$G_S = gamma_1 W_S $ peso del tappo applicato nel suo baricentro (appartenente all'asse centrale del serbatoio), $W_S$ è il volume del tappo
$Pi_1$ spinta (incognita) del fluido sul tappo.
------------------------------------------------------------------
Riguardo al volume fluido:
Equilibrio idrostatico $ul(G)_1+ul(Pi)_0+ul(Pi)_L+ul(Pi)_B=0$
I moduli dei vettori sono:
$G_1 = gamma_1 W_1$ peso del volume fluido, chiamato $W_1$
$Pi_0 = Pi_1$ spinta (incognita) del tappo sul fluido
$Pi_L = 0$ spinta risultante della parete laterale sul fluido: è nulla perché le pressioni sono tutte orizzontali e si annullano per la simmetria radiale
$Pi_B = p_{fondo} A_{fondo} = -n/10^5 {pi D^2}/4$ spinta della superficie di base sul fondo (la pressione è espressa in Pascal).
------------------------------------------------------------------
Unendo le equazioni trovo:
$ul(G)_R+ul(G)_S = ul(G)_1+ul(Pi)_B$
Le forze sono tutte dirette secondo la verticale e applicate sull'asse centrale, quindi scrivo l'equazione scalare:
$G_R-G_S - G_1 + Pi_B = 0$
$gamma_2 W'_R - gamma_S W_S - gamma_1 W_1 - n/10^5 {pi D^2}/4 = 0$
$gamma_2 = (gamma_S W_S + gamma_1 W_1 + n/10^5 {pi D^2}/4)1/{W'_R}$
Ho fatto errori?
Grazie a chi vorrà rispondere!
Vorrei chiedervi se secondo voi è corretta la mia risoluzione di questo esercizio, dato che io non ho la soluzione.
Mi interesserebbe soprattutto capire se ho messo i SEGNI giusti nelle equazioni.
[img]http:[/img]
(E' richiesta una risoluzione esclusivamente algebrica, senza dati numerici o calcoli)
Il serbatoio in figura è circolare, di diametro $D$ e contiene un fluido $gamma_1$. L'indicazione del manometro metallico sul fondo è $n<0$ in BAR, quindi il fluido è in depressione. Il tappo del serbatoio ha peso specifico $gamma_S$ e può scorrere senza attriti, ed è collegato tramite un filo inestensibile e carrucole fisse a un recipiente $R$, che contiene un fluido di peso specifico $gamma_2$.
(l'ho disegnato male, ma il filo passa per l'asse centrale del serbatoio e del tappo).
Conoscendo i valori di:
$gamma_1$
$gamma_S$
$D$
$n<0$ BAR
e supponendo di conoscere la geometria del sistema (cioè lunghezze, volumi e aree), determinare il peso specifico $gamma_2$ che assicuri l'equilibrio.
Io ho innanzitutto tracciato il piano dei carichi idrostatici sotto al fondo del serbatoio, e il diagramma delle pressioni.
Poi ho applicato l'equazione integrale della statica ai seguenti volumi di controllo:
[img]http:[/img]
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Riguardo al tappo:
Equilibrio statico $ul(G)_R+ul(G)_S+ul(Pi)_1=0$
$G_R = gamma_2 W'_R$ forza peso che si trasmette attraverso il filo, $W'_R$ è il solo volume occupato dal fluido $gamma_2$ nel recipiente R
$G_S = gamma_1 W_S $ peso del tappo applicato nel suo baricentro (appartenente all'asse centrale del serbatoio), $W_S$ è il volume del tappo
$Pi_1$ spinta (incognita) del fluido sul tappo.
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Riguardo al volume fluido:
Equilibrio idrostatico $ul(G)_1+ul(Pi)_0+ul(Pi)_L+ul(Pi)_B=0$
I moduli dei vettori sono:
$G_1 = gamma_1 W_1$ peso del volume fluido, chiamato $W_1$
$Pi_0 = Pi_1$ spinta (incognita) del tappo sul fluido
$Pi_L = 0$ spinta risultante della parete laterale sul fluido: è nulla perché le pressioni sono tutte orizzontali e si annullano per la simmetria radiale
$Pi_B = p_{fondo} A_{fondo} = -n/10^5 {pi D^2}/4$ spinta della superficie di base sul fondo (la pressione è espressa in Pascal).
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Unendo le equazioni trovo:
$ul(G)_R+ul(G)_S = ul(G)_1+ul(Pi)_B$
Le forze sono tutte dirette secondo la verticale e applicate sull'asse centrale, quindi scrivo l'equazione scalare:
$G_R-G_S - G_1 + Pi_B = 0$
$gamma_2 W'_R - gamma_S W_S - gamma_1 W_1 - n/10^5 {pi D^2}/4 = 0$
$gamma_2 = (gamma_S W_S + gamma_1 W_1 + n/10^5 {pi D^2}/4)1/{W'_R}$
Ho fatto errori?
Grazie a chi vorrà rispondere!
Risposte
Vedendo il disegno sembra che manchi qualche dato, visto che all'esterno del serbatoio è indicata una pressione in funzione dll'altezza. Sembra che il serbatoio sia immerso in un fluido di densità non trascurabile.
Riguardo alla soluzione, manca la pressione agente sulla superficie superiore del tappo, a meno che questa non sia nulla.
Riguardo alla soluzione, manca la pressione agente sulla superficie superiore del tappo, a meno che questa non sia nulla.
"sonoqui_":
Vedendo il disegno sembra che manchi qualche dato, visto che all'esterno del serbatoio è indicata una pressione in funzione dll'altezza. Sembra che il serbatoio sia immerso in un fluido di densità non trascurabile.
Riguardo alla soluzione, manca la pressione agente sulla superficie superiore del tappo, a meno che questa non sia nulla.
Grazie per la risposta, ma non mancano dati: la distribuzione delle pressioni l'ho disegnata io (il fluido nel serbatoio è pesante, quindi la pressione cresce linearmente allontanandosi dal piano dei carichi idrostatici), mentre l'indicazione del manometro metallico $n$ si riferisce solo alla quota del manometro, cioè al fondo del recipiente.
La spinta sulla superficie superiore del tappo è nulla (pressione atmosferica).
Mi interessava soprattutto sapere se ho azzeccato i segni nelle equazioni scalari...!
Ho controllato le equazioni e mi risultano corrette. C'è solo un problema nell'andamento della pressione nel disegno, che non influisce nei calcoli.
Sul recipiente del serbatoio è applicata una forza $-Pigreco_B$, quindi perchè il sistema complessivo sia in equilibrio deve risultare opposta alla sua forza peso.
Sul recipiente del serbatoio è applicata una forza $-Pigreco_B$, quindi perchè il sistema complessivo sia in equilibrio deve risultare opposta alla sua forza peso.
Mhm, scusa ma non ho ben capito 
Perché il diagramma delle pressioni è sbagliato? (Ho indicato le pressioni nel fluido, non è un sistema di forze esterne al serbatoio... se intendevi dire questo)
Riguardo alla forza $Pi_B$: è proprio quello che ho fatto, no? Scrivendo l'equazione finale ho detto che la somma vettoriale della $Pi_B$ con i pesi doveva risultare nulla.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mi sono appena accorto di un errore nel procedimento:
Il mio dubbio è il seguente: l'equazione globale della statica dei fluidi dice $ul(S) + ul(G) = 0$ dove $ul(S)$ è la spinta che la parete esterna esercita sul fluido.
Io in questo caso ho un fluido in depressione, quindi in realtà il fluido sta "tirando" la parete verso di sé: di conseguenza questa eserciterà una forza opposta, cioè le sue reazioni sono dirette verso l'esterno.
L'equazione globale però è sempre la stessa indipendentemente dal verso dei vettori, e quindi nel disegno (equilibrio del serbatoio senza tappo) io ho arbitrariamente deciso, fingendo di non sapere come fossero diretti i vettori, di mettere le reazioni della parete verso l'interno.
Ma questo non influenza i calcoli, credo!!
Ho scritto che (assumendo un riferimento con asse z verso l'alto) la spinta $Pi_B$ della superficie di base sul fluido ha modulo dato da $-n/10^5 {pi D^2}/4$ (infatti questo valore, essendo $n<0$, risulta positivo).
Successivamente però ho scritto, (sbagliando?) l'equazione scalare:
$G_R-G_S - G_1 + Pi_B = 0$
mettendo i segni davanti ai moduli in base appunto al riferimento verticale positivo verso l'alto.
In questo riferimento, i pesi hanno segno meno, il peso GR è positivo, e $Pi_B$ dovrebbe invece avere segno meno, perché è appunto la forza che la superficie esercita sul fluido, cioè una trazione verso l'esterno!
Quindi avrei dovuto scrivere:
$G_R-G_S - G_1 - Pi_B = 0$
E l'equazione finale dovrebbe essere:
$gamma_2 W'_R - gamma_S W_S - gamma_1 W_1 + n/10^5 {pi D^2}/4 = 0$
E' giusto adesso o era giusto prima...?
Perché il diagramma delle pressioni è sbagliato? (Ho indicato le pressioni nel fluido, non è un sistema di forze esterne al serbatoio... se intendevi dire questo)
Riguardo alla forza $Pi_B$: è proprio quello che ho fatto, no? Scrivendo l'equazione finale ho detto che la somma vettoriale della $Pi_B$ con i pesi doveva risultare nulla.
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Mi sono appena accorto di un errore nel procedimento:
Il mio dubbio è il seguente: l'equazione globale della statica dei fluidi dice $ul(S) + ul(G) = 0$ dove $ul(S)$ è la spinta che la parete esterna esercita sul fluido.
Io in questo caso ho un fluido in depressione, quindi in realtà il fluido sta "tirando" la parete verso di sé: di conseguenza questa eserciterà una forza opposta, cioè le sue reazioni sono dirette verso l'esterno.
L'equazione globale però è sempre la stessa indipendentemente dal verso dei vettori, e quindi nel disegno (equilibrio del serbatoio senza tappo) io ho arbitrariamente deciso, fingendo di non sapere come fossero diretti i vettori, di mettere le reazioni della parete verso l'interno.
Ma questo non influenza i calcoli, credo!!
Ho scritto che (assumendo un riferimento con asse z verso l'alto) la spinta $Pi_B$ della superficie di base sul fluido ha modulo dato da $-n/10^5 {pi D^2}/4$ (infatti questo valore, essendo $n<0$, risulta positivo).
Successivamente però ho scritto, (sbagliando?) l'equazione scalare:
$G_R-G_S - G_1 + Pi_B = 0$
mettendo i segni davanti ai moduli in base appunto al riferimento verticale positivo verso l'alto.
In questo riferimento, i pesi hanno segno meno, il peso GR è positivo, e $Pi_B$ dovrebbe invece avere segno meno, perché è appunto la forza che la superficie esercita sul fluido, cioè una trazione verso l'esterno!
Quindi avrei dovuto scrivere:
$G_R-G_S - G_1 - Pi_B = 0$
E l'equazione finale dovrebbe essere:
$gamma_2 W'_R - gamma_S W_S - gamma_1 W_1 + n/10^5 {pi D^2}/4 = 0$
E' giusto adesso o era giusto prima...?
Se la forza di gravità è diretta verso il basso, la pressione all'interno del serbatoio aumenta sicuramente verso il basso. Nel disegno è rappresentato in maniera diversa. Ma i calcoli poi in effetti mi sembrano giusti.
Riguardo a $Pigreco_B$ mi pare che tu abbia fatto giusto, ma, se il serbatoio non è equilibrato, l'equilibrio (in senso generico) non mi risulta assicurato.
Quella che ti ho suggerito è l'equazione della statica applicata al serbatoio, solo questo, che si aggiunge alle equazioni che hai già scritto e risolto.
Riguardo a $Pigreco_B$ mi pare che tu abbia fatto giusto, ma, se il serbatoio non è equilibrato, l'equilibrio (in senso generico) non mi risulta assicurato.
Quella che ti ho suggerito è l'equazione della statica applicata al serbatoio, solo questo, che si aggiunge alle equazioni che hai già scritto e risolto.
Scusami, forse non mi sono spiegato bene (o forse parlo utilizzando un linguaggio un po' convenzionale, usato solo in certe università):
certo, la gravità è diretta verso il basso, ma il fluido nel serbatoio è in depressione (perché l'indicazione del manometro è negativa... quindi appunto, se è negativa in basso, non potrà certo diventare positiva più alto!!)
La retta in basso segnata come "PCI" è il piano dei carichi idrostatici.
Andando verso l'alto, le pressioni RELATIVE dentro al serbatoio sono quindi negative di modulo crescente (e quindi sono delle forzettine che aspirano tutto ciò che sta attorno al liquido, per dirla in modo brutto).
Ma comunque sto proprio cercando l'equilibrio nel senso più generico
certo, la gravità è diretta verso il basso, ma il fluido nel serbatoio è in depressione (perché l'indicazione del manometro è negativa... quindi appunto, se è negativa in basso, non potrà certo diventare positiva più alto!!)
La retta in basso segnata come "PCI" è il piano dei carichi idrostatici.
Andando verso l'alto, le pressioni RELATIVE dentro al serbatoio sono quindi negative di modulo crescente (e quindi sono delle forzettine che aspirano tutto ciò che sta attorno al liquido, per dirla in modo brutto).
Ma comunque sto proprio cercando l'equilibrio nel senso più generico
Si ho capito ora cosa intendi riguardo alla distribuzione di pressione, è pressione negativa e l'avevo interpretata come positiva nel disegno.
Riguardo ai segni, fai attenzione a quando scrivi "il peso ha segno positivo (negativo)", perchè i pesi sono forze, vettori, ed hanno direzione, modulo, verso, ma non segno, non si può dire che un vettore è minore o maggiore di 0. Stabilito un asse orientato, si può stabilire il segno della componente di un vettore lungo tale asse. Tenendo conto di questo dovresti risolvere il problema.
Riguardo ai segni, fai attenzione a quando scrivi "il peso ha segno positivo (negativo)", perchè i pesi sono forze, vettori, ed hanno direzione, modulo, verso, ma non segno, non si può dire che un vettore è minore o maggiore di 0. Stabilito un asse orientato, si può stabilire il segno della componente di un vettore lungo tale asse. Tenendo conto di questo dovresti risolvere il problema.
Ok, grazie per il consiglio 
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