[Idraulica] Equazione globale dell'equilibrio statico
Ciao a tutti!
Il mio dubbio è il seguente: non riesco a capire la relazione tra i tre integrali
$ int_(W) grad (p) dW = -int_A p(vec(i) cos hat(nx)+ vec(j) cos hat(ny)+ vec(k) cos hat(nz))dA = -int_A p vec(n) dA $
dove W è il volume, A una superficie del volume, p la pressione, n la normale rivolta verso il volume
a lezione la prof dice di aver utilizzato Green (io ho qualche dubbio
), il libro(Citrini-Noseda) si sbriga dicendo "applicando la nota relazione tra integrali di volume e di superficie..."
Il mio dubbio è il seguente: non riesco a capire la relazione tra i tre integrali
$ int_(W) grad (p) dW = -int_A p(vec(i) cos hat(nx)+ vec(j) cos hat(ny)+ vec(k) cos hat(nz))dA = -int_A p vec(n) dA $
dove W è il volume, A una superficie del volume, p la pressione, n la normale rivolta verso il volume
a lezione la prof dice di aver utilizzato Green (io ho qualche dubbio
), il libro(Citrini-Noseda) si sbriga dicendo "applicando la nota relazione tra integrali di volume e di superficie..."
Risposte
Ciao la relazione è corretta.
Il teorema di Green afferma che avendo $F$ come funzione vettoriale a variabili reali allora l'integrale del gradiente di questa funzione su un generico elemento di volume è pari ad un integrale sulla superficie di questo volume del prodotto scalare tra la funzione e la normale alla superficie. In formule
$\int_V\nabla\cdot\bar{F}=\int_SF\cdot\bar{n}dS$
Nel tuo caso il segno è negativo, in quanto la normale ha verso opposto alle forze sulla superficie.
mi pare che derivi dal teorema della divergenza, che fa uso della formulazione dii Green:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green#Relazione_con_il_teorema_della_divergenza
Il teorema di Green afferma che avendo $F$ come funzione vettoriale a variabili reali allora l'integrale del gradiente di questa funzione su un generico elemento di volume è pari ad un integrale sulla superficie di questo volume del prodotto scalare tra la funzione e la normale alla superficie. In formule
$\int_V\nabla\cdot\bar{F}=\int_SF\cdot\bar{n}dS$
Nel tuo caso il segno è negativo, in quanto la normale ha verso opposto alle forze sulla superficie.
mi pare che derivi dal teorema della divergenza, che fa uso della formulazione dii Green:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Green#Relazione_con_il_teorema_della_divergenza
Grazie della risposta! 
Non ho ben capito: in breve il teorema di Green non dice che il flusso del rotore di una funzione attraverso una superficie è uguale alla circuitazione della funzione sul bordo dell'insieme stesso?
$ oint_(partialA) F\cdot dP=int_A((partial f_2)/(partial x)-(partial f_1)/(partial y) )dxdy $
Come si tira fuori il gradiente? Inoltre, per essere precisi, non si dovrebbe parlare di teorema del rotore visto che si parla di volumi (quindi \( \Re^3 \))?
Non ho ben capito: in breve il teorema di Green non dice che il flusso del rotore di una funzione attraverso una superficie è uguale alla circuitazione della funzione sul bordo dell'insieme stesso?
$ oint_(partialA) F\cdot dP=int_A((partial f_2)/(partial x)-(partial f_1)/(partial y) )dxdy $
Come si tira fuori il gradiente? Inoltre, per essere precisi, non si dovrebbe parlare di teorema del rotore visto che si parla di volumi (quindi \( \Re^3 \))?
Nico, Elwood ha spiegato chiaramente.
Elwood è una vecchio amico, e ogni tanto ci incrociamo in 3d di Idraulica o SdC. Ciao Elwood, come va?
Quello che lui ha scritto, è proprio il teorema della divergenza : il flusso del vettore $vecF$ attraverso una superficie $S$ ( 2º membro) è uguale all'integrale della divergenza di $vecF$ (1º membro) esteso al volume racchiuso da $S$.
Attenzione, il simbolo $nabla*vecF$ non è il gradiente di una funzione scalare, ma è la divergenza di $vecF$ ! Forse questo piccolo mismatch ti ha un po' confuso. Ma niente di grave.
Guarda questo link :
http://mathworld.wolfram.com/DivergenceTheorem.html
Io trovo formidabile questa risorsa del mathword.wolfram !
Elwood è una vecchio amico, e ogni tanto ci incrociamo in 3d di Idraulica o SdC. Ciao Elwood, come va?
Quello che lui ha scritto, è proprio il teorema della divergenza : il flusso del vettore $vecF$ attraverso una superficie $S$ ( 2º membro) è uguale all'integrale della divergenza di $vecF$ (1º membro) esteso al volume racchiuso da $S$.
Attenzione, il simbolo $nabla*vecF$ non è il gradiente di una funzione scalare, ma è la divergenza di $vecF$ ! Forse questo piccolo mismatch ti ha un po' confuso. Ma niente di grave.
Guarda questo link :
http://mathworld.wolfram.com/DivergenceTheorem.html
Io trovo formidabile questa risorsa del mathword.wolfram !
Navigatore, ora è più chiaro! Riguardo simbologia della divergenza e del gradiente non avevo dubbi. Mi aveva confuso il fatto che era stato nominato Green quando (correggimi se sbaglio) si usa solamente il teorema della divergenza. Per adattarlo al mio caso (dove invece della divergenza compare il gradiente) ho usato la seguente relazione che ho trovato nella pagina che mi hai linkato:
\( \nabla\cdot (p\cdot\bar{n})= (\nabla p)\cdot \bar{n}+p(\nabla \cdot\bar{n}) \)
quindi essendo
\( \nabla \cdot\bar{n}=0 \)
posso eguagliare l'integrale del gradiente della pressione esteso al volume al flusso della pressione attraverso la superficie. Tutto questo, naturalmente, effettuando i vari prodotti scalari tra i versori che mi determinano il segno meno nella formula.
Il ragionamento è corretto?
\( \nabla\cdot (p\cdot\bar{n})= (\nabla p)\cdot \bar{n}+p(\nabla \cdot\bar{n}) \)
quindi essendo
\( \nabla \cdot\bar{n}=0 \)
posso eguagliare l'integrale del gradiente della pressione esteso al volume al flusso della pressione attraverso la superficie. Tutto questo, naturalmente, effettuando i vari prodotti scalari tra i versori che mi determinano il segno meno nella formula.
Il ragionamento è corretto?
Scusate se mi intrufolo, ma siccome la questione mi interessa, volevo chiedere un chiarimento di notazione, ovvero: detto $\nabla$ il simbolo di divergenza, è corretto scrivere:
$\nabla * \vec F$
in luogo di
$\nabla \vecF$
ovvero senza il pallino?
Io credo, ma correggetemi se sbaglio, che dovrebbe omettersi il puntino perché in questo caso $\nabla$ indica un operatore e non il fattore di un prodotto.
Sarebbe come scrivere l'operatore derivata di una funzione in questo modo:
$d/dx * f(x)$ invece di $d/dx f(x)$
Sbaglio?
Riguardo il dilemma di nico_lau, su Wikipedia (al link indicato da ELWOOD) leggo:
Ciao a tutti.
$\nabla * \vec F$
in luogo di
$\nabla \vecF$
ovvero senza il pallino?
Io credo, ma correggetemi se sbaglio, che dovrebbe omettersi il puntino perché in questo caso $\nabla$ indica un operatore e non il fattore di un prodotto.
Sarebbe come scrivere l'operatore derivata di una funzione in questo modo:
$d/dx * f(x)$ invece di $d/dx f(x)$
Sbaglio?
Riguardo il dilemma di nico_lau, su Wikipedia (al link indicato da ELWOOD) leggo:
"Wikipedia":
Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:[...]
Ciao a tutti.
JoJo, intrufolati pure!
Ti rispondo : no, non è corretto quello che pensi. Il "pallino" ci vuole perché si tratta di un vero e proprio prodotto scalare ( sia pure simbolico) tra l'operatore Nabla e il vettore $vecF$:
$nabla = (\partial)/(\partialx)veci + (\partial)/(\partialy)vecj + (\partial)/(\partialz)veck$
$vecF = F_xveci + F_yvecj + F_zveck$
Solo se moltiplichi scalarmente ( simbolicamente) i due aggeggi di sopra, ottieni la $div vecF = nabla*vecF$ , che come sai è lo scalare:
$ (\partialF_x)/(\partialx) + (\partialF_y)/(\partialy) + (\partialF_z)/(\partialz)$
Al contrario, quando applichi l'operatore $nabla$ ad una funzione scalare $f(x,y,z)$ , ottieni il vettore gradiente di $f(x,y,z)$ :
$gradf = nablaf = (\partialf)/(\partialx)veci + (\partialf)/(\partialy)vecj + (\partialf)/(\partialz)veck $
La differenza è evidente.
Nico, penso di si, che si possa fare come dici. Ma non ne sono molto sicuro, per me è roba troppo vecchia. Ti conviene consultare un testo di calcolo vettoriale. Potresti solleticare le voglie della tua prof, che potrebbe chiederti: ma perché vale quella relazione differeziale che hai scritto? Me la dimostri? Io francamente mi limiterei a fare le considerazioni solite sul "cubetto elementare", come fa il Citrini-Noseda, che ho qui davanti a me, e dice proprio come hai riportato tu.
Un testo americano di calcolo vettoriale, che forse trovi ora anche tradotto in Italiano (hai presente quei libri di esercizi in formato A4, con la copertina arancione? Si chiama "Calcolo vettoriale") dice :
Il teorema di Green nel piano è un caso speciale del teorema di Stokes. È anche interessante notare che il teorema della divergenza di Gauss è una generalizzazione del teorema di Green, in cui la regione piana R e il suo contorno chiuso C sono sostituiti, nello spazio, da un volume V e dalla superficie chiusa di frontiera S. Per questo motivo il teorema della divergenza è spesso chiamato "teorema di Green nello spazio" .
Insomma, in quanto ad avere le idee chiare, chi più ne ha più ne metta.
Ma l'importante è, per me, capire il significato fisico, come sempre.
Ti rispondo : no, non è corretto quello che pensi. Il "pallino" ci vuole perché si tratta di un vero e proprio prodotto scalare ( sia pure simbolico) tra l'operatore Nabla e il vettore $vecF$:
$nabla = (\partial)/(\partialx)veci + (\partial)/(\partialy)vecj + (\partial)/(\partialz)veck$
$vecF = F_xveci + F_yvecj + F_zveck$
Solo se moltiplichi scalarmente ( simbolicamente) i due aggeggi di sopra, ottieni la $div vecF = nabla*vecF$ , che come sai è lo scalare:
$ (\partialF_x)/(\partialx) + (\partialF_y)/(\partialy) + (\partialF_z)/(\partialz)$
Al contrario, quando applichi l'operatore $nabla$ ad una funzione scalare $f(x,y,z)$ , ottieni il vettore gradiente di $f(x,y,z)$ :
$gradf = nablaf = (\partialf)/(\partialx)veci + (\partialf)/(\partialy)vecj + (\partialf)/(\partialz)veck $
La differenza è evidente.
Nico, penso di si, che si possa fare come dici. Ma non ne sono molto sicuro, per me è roba troppo vecchia. Ti conviene consultare un testo di calcolo vettoriale. Potresti solleticare le voglie della tua prof, che potrebbe chiederti: ma perché vale quella relazione differeziale che hai scritto? Me la dimostri? Io francamente mi limiterei a fare le considerazioni solite sul "cubetto elementare", come fa il Citrini-Noseda, che ho qui davanti a me, e dice proprio come hai riportato tu.
Un testo americano di calcolo vettoriale, che forse trovi ora anche tradotto in Italiano (hai presente quei libri di esercizi in formato A4, con la copertina arancione? Si chiama "Calcolo vettoriale") dice :
Il teorema di Green nel piano è un caso speciale del teorema di Stokes. È anche interessante notare che il teorema della divergenza di Gauss è una generalizzazione del teorema di Green, in cui la regione piana R e il suo contorno chiuso C sono sostituiti, nello spazio, da un volume V e dalla superficie chiusa di frontiera S. Per questo motivo il teorema della divergenza è spesso chiamato "teorema di Green nello spazio" .
Insomma, in quanto ad avere le idee chiare, chi più ne ha più ne metta.
Ma l'importante è, per me, capire il significato fisico, come sempre.
Grazie per i chiarimenti navigatore (purtroppo non ho avuto modo di vedermi con calma questi concetti di calcolo vettoriale).
Ciao Navigatore bentrovato! 
Grazie per il tuo sempre prezioso supporto.
In effetti questi concetti un' pò si assomigliano, divergenza e gradiente potrebbero essere oggetto di confusione reciproca....cosa tra l'altro successa anni or sono all'orale di scienza delle costruzioni riguardo alla dimostrazione
del plv
Grazie per il tuo sempre prezioso supporto.
In effetti questi concetti un' pò si assomigliano, divergenza e gradiente potrebbero essere oggetto di confusione reciproca....cosa tra l'altro successa anni or sono all'orale di scienza delle costruzioni riguardo alla dimostrazione
del plv
Grazie Navigatore e Elwood per il vostro aiuto! Magari lunedì provo a chiedere conferma alla prof per il mio ragionamento. Non credevo Green e il teorema della divergenza fossero così correlati! Lunedì posterò la risposta della prof, vediamo che dice!
Ciao ciao
Ciao ciao
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