[Idraulica] Aiuto risoluzione problema di idrostatica
Ciao ragazzi, devo prepararmi per l'esame di idraulica, ma riscontro dei problemi nella risoluzione di vari esercizi 
Questo ne è un esempio.
Con riferimento al sistema in figura (vi allego la figura) costituito da un serbatoio di larghezza L in pressione
contenente un gas ed un liquido di peso specifico γ, si determini:
- la pressione relativa ed assoluta nei punti A, B, e C.
Dati: a=0.2 m; R=50 cm; L=0.2 m; ∆=16 cm; γ=1000 kgf/m3; peso specifico liquido manometrico γm=12000 kgf/m3.
Allora vi spiego come sono partita. Ho per prima cosa individuato (in rosso) il piano dei carichi idrostatici (relativi).
E infine applicato la legge di Stevino, per cui:
\(\displaystyle h(1)=h(2) \) nel liquido manometrico in quiete
$ z(1)+(p(1))/(gamma m)= z(2)+(p(2))/(gamma m) $ ma $ p(2)=0 $ allora $ p(1)=gamma m*Delta $
$ h(A)=h(1) $ nel liquido contenuto nel recipiente
$ z(A)+(p(A))/(gamma)= z(1)+(p(1))/(gamma) $ quindi $ p(A)=p(1)+gamma *(z(1)-z(A)) $
Ecco! Qui mi blocco, perché non riesco a ricavarmi z(1)!!!
Quindi mi sapreste dire se il ragionamento che ho fatto fino ad ora è giusto? Ho preso spunto da quei pochi esercizi presenti nel libro "Lezioni di Idraulica" di Luigi Montefusco..
Mi sapreste consigliare dei libri in cui ci siano più esercizi (e magari risolti)?
Grazie della vostra eventuale disponibilità e aiuto!
Questo ne è un esempio.
Con riferimento al sistema in figura (vi allego la figura) costituito da un serbatoio di larghezza L in pressione
contenente un gas ed un liquido di peso specifico γ, si determini:
- la pressione relativa ed assoluta nei punti A, B, e C.
Dati: a=0.2 m; R=50 cm; L=0.2 m; ∆=16 cm; γ=1000 kgf/m3; peso specifico liquido manometrico γm=12000 kgf/m3.
Allora vi spiego come sono partita. Ho per prima cosa individuato (in rosso) il piano dei carichi idrostatici (relativi).
E infine applicato la legge di Stevino, per cui:
\(\displaystyle h(1)=h(2) \) nel liquido manometrico in quiete
$ z(1)+(p(1))/(gamma m)= z(2)+(p(2))/(gamma m) $ ma $ p(2)=0 $ allora $ p(1)=gamma m*Delta $
$ h(A)=h(1) $ nel liquido contenuto nel recipiente
$ z(A)+(p(A))/(gamma)= z(1)+(p(1))/(gamma) $ quindi $ p(A)=p(1)+gamma *(z(1)-z(A)) $
Ecco! Qui mi blocco, perché non riesco a ricavarmi z(1)!!!
Quindi mi sapreste dire se il ragionamento che ho fatto fino ad ora è giusto? Ho preso spunto da quei pochi esercizi presenti nel libro "Lezioni di Idraulica" di Luigi Montefusco..
Mi sapreste consigliare dei libri in cui ci siano più esercizi (e magari risolti)?
Grazie della vostra eventuale disponibilità e aiuto!
Risposte
"Giulia1990":
Ecco! Qui mi blocco, perché non riesco a ricavarmi z(1)!!!
Non è un problema se non la riesci a ricavare, per il semplice motivo che non ti serve
. Pensaci su: la pressione nel punto $A$ è data dalla pressione che si ha in $1$ (che è uguale alla pressione che si ha in corrispondenza della superficie di separazione fra il gas e il fluido $\gamma$) più la pressione dovuta alla colonnina di fluido $\gamma$ che sovrasta il punto $A$, dunque...a te la risposta 
"JoJo_90":
Pensaci su: la pressione nel punto $A$ è data dalla pressione che si ha in $1$ (che è uguale alla pressione che si ha in corrispondenza della superficie di separazione fra il gas e il fluido $\gamma$) più la pressione dovuta alla colonnina di fluido $\gamma$ che sovrasta il punto $A$, dunque...a te la risposta
La prima parte, di quello che mi hai detto, mi torna... E' che non so come calcolare appunto quella "colonnina" di fluido.. Non dovrei sommare a $ p(1)=gamma m*Delta $ la pressione del liquido che agisce tra la quota $z(1)$ e $z(A)$ ??? o la distanza per cui devo moltiplicare $gamma$ è un' altra?
Giulia,
JoJo ti sta dicendo che, per trovare la pressione in A, devi sommare la pressione del gas, che è uguale alla pressione in 1 , alla pressione idrostatica agente in A : quanto vale l'affondamento di A sotto la superficie del liquido?
Poi, in problemi come questo è consigliabile usare direttamente l'equazione fondamentale dell'Idrostatica, che contiene in sé la legge di Stevino :
$z + p/\gamma ="cost"$
Percio, se la scrivi tra due sezioni qualsiasi, ottieni quello che ti serve, per esempio tra le sezioni 1 e 2.
Ma poi, che vuol dire : "$h(1) = h(2)$ nel liquido manometrico in quiete" ???
E che vuol dire : " $h(A) = h(1)$ nel liquido contenuto nel recipiente " ???
JoJo ti sta dicendo che, per trovare la pressione in A, devi sommare la pressione del gas, che è uguale alla pressione in 1 , alla pressione idrostatica agente in A : quanto vale l'affondamento di A sotto la superficie del liquido?
Poi, in problemi come questo è consigliabile usare direttamente l'equazione fondamentale dell'Idrostatica, che contiene in sé la legge di Stevino :
$z + p/\gamma ="cost"$
Percio, se la scrivi tra due sezioni qualsiasi, ottieni quello che ti serve, per esempio tra le sezioni 1 e 2.
Ma poi, che vuol dire : "$h(1) = h(2)$ nel liquido manometrico in quiete" ???
E che vuol dire : " $h(A) = h(1)$ nel liquido contenuto nel recipiente " ???
"navigatore":
Giulia,
JoJo ti sta dicendo che, per trovare la pressione in A, devi sommare la pressione del gas, che è uguale alla pressione in 1 , alla pressione idrostatica agente in A : quanto vale l'affondamento di A sotto la superficie del liquido?
Esatto, è proprio quello che intendevo
.
Scusate se sono un po' lenta nel capire certi passaggi..
Allora vediamo se ho capito bene:
$ p(1)= gamma m*Delta $ quindi $p(A)=p(1)+gamma*a$
mentre per il punto $B$?
$p(B)=p(1)+gamma*(a+R)$
e il punto $C$? Avrà la stessa pressione agente sul punto $B$?
Allora vediamo se ho capito bene:
$ p(1)= gamma m*Delta $ quindi $p(A)=p(1)+gamma*a$
mentre per il punto $B$?
$p(B)=p(1)+gamma*(a+R)$
e il punto $C$? Avrà la stessa pressione agente sul punto $B$?
"Giulia1990":
Allora vediamo se ho capito bene:
$ p(1)= gamma m*Delta $ quindi $ p(A)=p(1)+gamma*a $
Ok
"Giulia1990":
mentre per il punto $ B $?
$ p(B)=p(1)+gamma*(a+R) $
Giusto anche questo. Volendo potevi scriverla in funzione della pressione in $A$.
"Giulia1990":
e il punto $ C $? Avrà la stessa pressione agente sul punto $ B $?
Qui dovresti già conoscere la risposta. Ti rigiro la domanda: secondo te $p(C)=p(B)$? E se si, perché?
Scusate se sono un po' lenta nel capire certi passaggi..
Ma figurati, non ti preoccupare
"JoJo_90":
Qui dovresti già conoscere la risposta. Ti rigiro la domanda: secondo te $p(C)=p(B)$? E se si, perché?
Poichè i punti $C$ e $B$ giacciono sulla stessa quota, dovranno avere la stessa pressione, no?
Avrei un altro problema da proporvi, sempre della stessa tipologia; ma non so se sia meglio aprire un altro post, o continuare in questo.
Il testo del problema è questo:
"Con riferimento al sistema in figura costituito da un serbatoio in pressione di larghezza unitaria contenente un liquido e un gas e ai dati sotto indicati, si determini:
1) La pressione assoluta e relativa nei punti $C$ e $D$
2)la pressione del gas
3) la posizione del piano dei carichi idrostatici di $ gamma $
4) la spinta (modulo, direzione, verso e punto di applicazione) che il gas contenuto all'interno del serbatoio esercita sulla superficie curva $AB$
5) la spinta (modulo, direzione, verso e punto di applicazione) che il liquido contenuto all'interno del serbatoio esercita sulla superficie piana $BC$
6) la spinta (modulo, direzione, verso e punto di applicazione) che il liquido contenuto all'interno del serbatoio esercita sulla superficie piana $CD$
Vi allego dunque l'immagine:
Ho vari dubbi, quindi passo passo vi spiegherò come sono andata avanti nel risolvere io il problema.
Pressione relative punti C e D:
$ text(P){::}_(\ \ relC)=gamma*a $
$ text(P){::}_(\ \ relD)=gamma*(a+b) $
Pressione del gas:
$ text(P){::}_(\ \ gas)+text(P){::}_(\ \ gamma)=text(P){::}_(\ \ gamma){::}_(\ \ m) $ ovvero $ text(P){::}_(\ \ gas)=text(P){::}_(\ \ gamma){::}_(\ \ m)-text(P){::}_(\ \ gamma)= gamma{::}_(\ \ m)*Delta -gamma(a+b) $
Pressioni assolute nei punti C e D:
$ text(p){::}_(\ \ C)=text(p){::}_(\ \ relC)+text(p){::}_(\ \ gas) $
$ text(p){::}_(\ \ D)=text(p){::}_(\ \ relD)+text(p){::}_(\ \ gas) $
Ecco e qui arrivano le prime magagne, in quanto non sono propriamente sicura di aver scritto correttamente sia la pressione relativa nel punto $D$ che la pressione del gas.. Di conseguenza non vorrei aver sbagliato anche le pressioni assolute. Mi sapreste dare una mano voi?
Continuando però, ho trovato il piano dei carichi idrostatici di gamma :
$ h=z+(text(p){::}_(\ \ gas))/gamma=(a+b)+(text(p){::}_(\ \ gas))/gamma $
Qui, i dubbi si fanno proprio amletici...
Spinta su superficie curva AB esercitata da gas:
Ho pensato (non se bene o male) che non esista alcuna componente orizzontale della spinta, quindi
$ text(S){::}_(\ \ V)=text(p){::}_(\ \ gas)*text(W){::}_(\ \ T)=text(p){::}_(\ \ gas)*((pi*R^2)/2)*1 $
indicando con $ text(W){::}_(\ \ T) $ il volume del gas che contribuisce alla spinta.
Spinta su superficie piana BC:
$ S=rho*g*a/2*(a*1) $ e il centro di spinta è posizionato a $ text(y){::}_(\ \ c)=2/3a $
Quello che io mi domando è se devo considerare anche il contributo che mi da il gas oppure no.. voi cosa ne dite?
Spinta su superficie inclinata CD:
In questo caso ho diviso il problema, calcolandomi prima il contributo orizzontale e poi quello verticale.. ma sono arrivata ad un risultato che non so bene come interpretare.
$ text(S){::}_(\ \ o)=rho*g*text(h){::}_(\ \ g)*text(A){::}_(\ \ x)=rho*g*(a+b/2)*b*1 $
$ text(S){::}_(\ \v)=rho*g*text(W){::}_(\ \ T)=rho*g*(ab+b^2/2)*1 $
La componente verticale ed orizzontale mi danno lo stesso contributo?!
Grazie per essere arrivati fino in fondo a leggere, e se eventualmente mi date anche una mano!
Il testo del problema è questo:
"Con riferimento al sistema in figura costituito da un serbatoio in pressione di larghezza unitaria contenente un liquido e un gas e ai dati sotto indicati, si determini:
1) La pressione assoluta e relativa nei punti $C$ e $D$
2)la pressione del gas
3) la posizione del piano dei carichi idrostatici di $ gamma $
4) la spinta (modulo, direzione, verso e punto di applicazione) che il gas contenuto all'interno del serbatoio esercita sulla superficie curva $AB$
5) la spinta (modulo, direzione, verso e punto di applicazione) che il liquido contenuto all'interno del serbatoio esercita sulla superficie piana $BC$
6) la spinta (modulo, direzione, verso e punto di applicazione) che il liquido contenuto all'interno del serbatoio esercita sulla superficie piana $CD$
Vi allego dunque l'immagine:
Ho vari dubbi, quindi passo passo vi spiegherò come sono andata avanti nel risolvere io il problema.
Pressione relative punti C e D:
$ text(P){::}_(\ \ relC)=gamma*a $
$ text(P){::}_(\ \ relD)=gamma*(a+b) $
Pressione del gas:
$ text(P){::}_(\ \ gas)+text(P){::}_(\ \ gamma)=text(P){::}_(\ \ gamma){::}_(\ \ m) $ ovvero $ text(P){::}_(\ \ gas)=text(P){::}_(\ \ gamma){::}_(\ \ m)-text(P){::}_(\ \ gamma)= gamma{::}_(\ \ m)*Delta -gamma(a+b) $
Pressioni assolute nei punti C e D:
$ text(p){::}_(\ \ C)=text(p){::}_(\ \ relC)+text(p){::}_(\ \ gas) $
$ text(p){::}_(\ \ D)=text(p){::}_(\ \ relD)+text(p){::}_(\ \ gas) $
Ecco e qui arrivano le prime magagne, in quanto non sono propriamente sicura di aver scritto correttamente sia la pressione relativa nel punto $D$ che la pressione del gas.. Di conseguenza non vorrei aver sbagliato anche le pressioni assolute. Mi sapreste dare una mano voi?
Continuando però, ho trovato il piano dei carichi idrostatici di gamma :
$ h=z+(text(p){::}_(\ \ gas))/gamma=(a+b)+(text(p){::}_(\ \ gas))/gamma $
Qui, i dubbi si fanno proprio amletici...
Spinta su superficie curva AB esercitata da gas:
Ho pensato (non se bene o male) che non esista alcuna componente orizzontale della spinta, quindi
$ text(S){::}_(\ \ V)=text(p){::}_(\ \ gas)*text(W){::}_(\ \ T)=text(p){::}_(\ \ gas)*((pi*R^2)/2)*1 $
indicando con $ text(W){::}_(\ \ T) $ il volume del gas che contribuisce alla spinta.
Spinta su superficie piana BC:
$ S=rho*g*a/2*(a*1) $ e il centro di spinta è posizionato a $ text(y){::}_(\ \ c)=2/3a $
Quello che io mi domando è se devo considerare anche il contributo che mi da il gas oppure no.. voi cosa ne dite?
Spinta su superficie inclinata CD:
In questo caso ho diviso il problema, calcolandomi prima il contributo orizzontale e poi quello verticale.. ma sono arrivata ad un risultato che non so bene come interpretare.
$ text(S){::}_(\ \ o)=rho*g*text(h){::}_(\ \ g)*text(A){::}_(\ \ x)=rho*g*(a+b/2)*b*1 $
$ text(S){::}_(\ \v)=rho*g*text(W){::}_(\ \ T)=rho*g*(ab+b^2/2)*1 $
La componente verticale ed orizzontale mi danno lo stesso contributo?!
Grazie per essere arrivati fino in fondo a leggere, e se eventualmente mi date anche una mano!
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