[Identificazione] Stimatore Bayesiano

[f.schiano1]

Ciao a tutti, la mia domanda e' semplice, ma non riesco a trovare una risposta formale da potere esprimere a un esame.

Perche' lo stimatore Bayesiano e' non polarizzato?

L'operatore E e' il cosiddetto valore atteso o media, o speranza matematica.
Ho due variabili aleatorie :
- $X$ lo stato del mio sistema, che voglio stimare tramite il mio stimatore bayesiano
- $Y$ la variabile aleat. che rappresenta i miei dati, le uscite del mio sistema, che io ho a disposizione.

Io chiamo $\hat X$ il mio stimatore, con :
$\hat X = E[X/Y]$

Quindi per potere affermare che uno stimatore e' non polarizzato dovrebbe essere:
$E_Y [\hat X]=E[X]$
cioe' la media della stima di X rispetto a Y deve essere uguale alla media del valore vero X. ( La media del valore vero X e' la stima migliore che posso fare in quanto anche $X$ e' essa stessa una variabile aleatoria)

Pero' non lo riesco a dimostrare, se qualcuno ha qualche metodo piu' semplice, ma sempre formale, per farmi capire il perche' uno stimatore Bayesiano e' non polarizzato... Sono tutto orecchie.

Grazie in anticipo per l'aiuto,

F.

[mariaaa1]

Come noto sempre nei corsi di ingegneria, ogni professore chiama e spiega determinate cose in uno dei 1000 modi possibili....per capire quello che intendi tu, stai parlando del problema di stima di minima varianza?

[mariaaa1]

Ti scrivo un pò dei miei appunti del corso di identificazione. Innanzitutto, noi a lezione abbiamo trattato le sigma algebre (tra cui la sigma-algebra di Borel). Quindi, si parte dicendo che la sigma-algebra generata da una variabile aleatoria è la più piccola sigma-algebra per cui possiamo definire la variabile aleatoria, e la indichiamo con $ F^X $.

Quindi, consideriamo due variabili aleatorie X e Y. Quindi, invece di considerare $ E(Y|X) $ si considera $ E(Y|F^X) $ , che quindi è una opportuna funzione di manipolazione della X, e scriviamo $ E(Y|F^X)=phi(X(omega)) $ . Sia $ X(omega) $ una variabile aleatoria, allora $ Y(omega)=gamma(X(omega)) $ è una variabile aleatoria se e solo se $ gamma $ è una funzione di Borel.

Ora , io voglio sapere una stima di $ X (omega) $, che chiamo $ hat X (omega) $ .Ovviamente, da quanto detto prima, risulterà $ hat X(omega)=hat phi (Y(omega)) $, con $ hat phi $ funzione di Borel. La $ hat X (omega)$ è F^Y - misurabile .

Fra tutte le stime, noi vogliamo la migliore. Definiamo l'errore $ hat e (omega)=X(omega)-hat X(omega) $ .
Ora , $ E ( || X(omega) -hat X (omega) ||^2 ) = J (hat phi) $ , ossia il valor medio dell'errore è indice della bontà della stima. Se fosse uguale a 0, sarebbe perfetto per intenderci..

Ora, si arriva a dimostrare quello che vuoi sapere tu, ossia alla fine vien fuori che la stima ottima, ossia la stima di minima varianza, è $ bar (X) = E (X (omega) | F^Y ) $

Se ti trovi con la notazione che ho usato, ti scrivo tutta la dimostrazione, che si basa comunque sul concetto di sigma algebra. Altrimenti è piuttosto inutile che te la scrivo. Dimmi tu