[Generico] Equazione del calore: problema del valore iniziale

[D4lF4zZI0]

Salve a tutti, il problema del valore iniziale per l'equazione del calore è rappresentato come:

$ { ( (partial u)/(partial t) - (partial^2 u)/(partial x^2) = 0 ),( u(x,0)=f_0(x) ):} $

la cui soluzione, nell'ipotesi in cui la funzione $ f_0(x) $ appartenga allo spazio delle funzioni a crescenza lenta, è data dal seguente integrale di convoluzione:

$ u(x,t)=int_(-oo )^(+oo) f_0(xi)e^(-(x-xi)^2/(4t))/(2sqrt(pi t)) d(xi) $

Ciò premesso, nel caso in cui viene assegnato il seguente problema:

$ { ( (partial u)/(partial t) - (partial^2 u)/(partial x^2) = 0 ),( u(x,0)=x^2 ):} $

in modo intuitivo, si vede subito che la soluzione è:

$ u(x,t)=x^2+2t $

che dovrebbe essere il risultato del seguente integrale:

$ u(x,t)=int_(-oo )^(+oo) xi^2e^(-(x-xi)^2/(4t))/(2sqrt(pi t)) d(xi) $

Il mio problema è che non riesco a risolvere questo integrale, ci ho provato in tutti i modi a me noti .
C'è qualcuno che riesce a risolverlo?
Grazie in anticipo

[D4lF4zZI0]

Vabbè ragazzi, scerveladomi un pochino sono riuscito a risolverlo quell'integrale. Grazie lo stesso