[fondamenti di segnali e trasmissione] segnale periodico

[tommasovitolo1]

Salve a tutti. Sto riscontrando un pò di difficoltà con questa domanda teorica. Nel senso è ben esaustivo il mio "ragionamento"? grazie mille a chi mi aiuterà.

Sia x(t) un segnale di energia e X(f) la sua trasformata di Fourier. Si scriva l'espressione della trasformata di Fourier del segnale periodico $ tilde(x) =rep_(T_0){x(t)} $ ottenuto replicando il segnale x(t) con passo di replicazione $ T_0 $. A partire dall'espressione ottenuta, si illustrino le caratteristiche generali della trasformata di Fourier dei segnali periodici.

Si chiama replicazione di periodo T di un segnale x(t) detto generatore il segnale
$ tilde(x) =rep_(T_0){x(t)} = sum_(k = -oo) ^oo x(t-kT_0) $
Si consideri un sistema LTI, con risposta impulsiva h(t), con ingresso
esponenziale
$ x(t) = e^(st), s in C $
Si definisce funzione di trasferimento del sistema la Trasformata di Laplace
della risposta impulsiva
$ H(s) = int_Rh(t)*e^(-st)dt $
Si chiama serie di Fourier di un segnale periodico $ tilde(x) $ di periodo T la somma
$ tildex(t) = sum_(k = -oo) ^oo x_k*e^((j2pikt)/T) $
in cui
$ x_k = 1/T intTtildex(t)*e^((-j2pikt)/T)dt $



E' possibile generalizzare il calcolo dell'uscita di un sistema LTI basato sulla
scomposizione in esponenziali
$ tildex(t) = sum_(k = -oo) ^oo x_k*e^((j2pikt)/T) $
Si chiama Trasformata di Fourier la seguente rappresentazione di un segnale x(t)
$ x(t) = int_R X(f)e^(j2pift)df = 1/(2pi)int_RX(omega)*e^(jomegat)domega $
in cui i coefficienti X(f ) e X(!) si calcolano mediante le formule
$ X(f) = int_R X(t)e^(-j2pift)dt, X(omega) = int_Rx(t)e^(-jomegat)dt $