[Fondamenti di Comunicazioni] Esercizio su Modulazioni Ortogonali
Salve, vi chiedo aiuto su un esercizio che non sto riuscendo a finire. La traccia dice:
"Considerare un sistema di modulazione binario ($M = 2$) che adopera le due seguenti forme d’onda:
$s_1(t)=A\prod((t-tau_1/2)/tau_1)$, $s_2(t)=A\prod((t-(tau_2+T)/2)/(T-tau_2))$,
dove $\prod(t)$ è la finestra rettangolare, $A > 0$, $tau_1 < T$ e $tau_2 < T$ . Determinare la probabilità d’errore dello schema di modulazione e determinare la condizione che $tau_1$ e $tau_2$ devono soddisfare affinché $s_1(t)$ ed $s_2(t)$ siano ortogonali."
Provo a rispondere partendo dal secondo quesito:
la prima forma d'onda deve necessariamente partire dall'origine ed estendersi fino a $tau_1$, quindi la forma d'onda $s_2(t)$ starà "dopo", cioè $tau_1/2 < (t_2 + T)/2$, essendo il primo membro della disuguaglianza il centro del segnale $s_1(t)$ ed il secondo il centro di $s_2(t)$ (ma questo vincolo da solo non basta, è giusto per farmi un'idea su come disegnare i due segnali).
Quindi le grafico come segue:
e mi rendo conto che si deve avere:
$(tau_2 + T)/2 - (T - tau_2)/2 >= tau_1$, e quindi $tau_2 >= tau_1$; cioè sto imponendo che l'estremo sinistro di $s_2(t)$ sia almeno uguale all'estremo destro di $s_1(t)$, per avere ortogonalità, correggetemi se sbaglio.
Per la probabilità di errore potrei usare la formula:
$P_b(e)=Q(sqrt(d/(2N_0)))$, ma nello specifico come mi calcolo i due contributi sotto la radice?
Forse la distanza, essendo i segnali ortogonali, è semplicemente $d=sqrt(epsilon_1^2+epsilon_2^2)$ (per il teorema di Pitagora, essendo i segnali a 90 gradi).
Quindi mi calcolo $epsilon_1 = \int_{RR} |s_1(t)|^2 dt = \int_{RR} s_1(t)^2dt = \int_{0}^{tau_1}A^2dt = A^2tau_1$
e lo stesso vale per $epsilon_2=\int_{tau_1}^{tau_1+T-tau_2} A^2dt = A^2(T-tau_2)$
Ma mi resta il problema di trovare $N_0$...
Grazie per l'attenzione
"Considerare un sistema di modulazione binario ($M = 2$) che adopera le due seguenti forme d’onda:
$s_1(t)=A\prod((t-tau_1/2)/tau_1)$, $s_2(t)=A\prod((t-(tau_2+T)/2)/(T-tau_2))$,
dove $\prod(t)$ è la finestra rettangolare, $A > 0$, $tau_1 < T$ e $tau_2 < T$ . Determinare la probabilità d’errore dello schema di modulazione e determinare la condizione che $tau_1$ e $tau_2$ devono soddisfare affinché $s_1(t)$ ed $s_2(t)$ siano ortogonali."
Provo a rispondere partendo dal secondo quesito:
la prima forma d'onda deve necessariamente partire dall'origine ed estendersi fino a $tau_1$, quindi la forma d'onda $s_2(t)$ starà "dopo", cioè $tau_1/2 < (t_2 + T)/2$, essendo il primo membro della disuguaglianza il centro del segnale $s_1(t)$ ed il secondo il centro di $s_2(t)$ (ma questo vincolo da solo non basta, è giusto per farmi un'idea su come disegnare i due segnali).
Quindi le grafico come segue:
e mi rendo conto che si deve avere:
$(tau_2 + T)/2 - (T - tau_2)/2 >= tau_1$, e quindi $tau_2 >= tau_1$; cioè sto imponendo che l'estremo sinistro di $s_2(t)$ sia almeno uguale all'estremo destro di $s_1(t)$, per avere ortogonalità, correggetemi se sbaglio.
Per la probabilità di errore potrei usare la formula:
$P_b(e)=Q(sqrt(d/(2N_0)))$, ma nello specifico come mi calcolo i due contributi sotto la radice?
Forse la distanza, essendo i segnali ortogonali, è semplicemente $d=sqrt(epsilon_1^2+epsilon_2^2)$ (per il teorema di Pitagora, essendo i segnali a 90 gradi).
Quindi mi calcolo $epsilon_1 = \int_{RR} |s_1(t)|^2 dt = \int_{RR} s_1(t)^2dt = \int_{0}^{tau_1}A^2dt = A^2tau_1$
e lo stesso vale per $epsilon_2=\int_{tau_1}^{tau_1+T-tau_2} A^2dt = A^2(T-tau_2)$
Ma mi resta il problema di trovare $N_0$...
Grazie per l'attenzione
Risposte
I valori $ au1$ e $ au2$ determinano sia l’energia dei segnali 1 e 2 che il loro orientamento nello spazio dei segnali, e quindi la loro distanza. La distanza di due segnali ortogonali però vale: $d=sqrt{E1+E2}$
$No=(KT)/2$ è lo spettro di densità di rumore bilatera e non dipende dai segnali ma dalla temperatura di rumore del sistema, infatti la probabilità di errore è funzione del rapporto segnale/rumore: $(Eb)/(No)$.
$No=(KT)/2$ è lo spettro di densità di rumore bilatera e non dipende dai segnali ma dalla temperatura di rumore del sistema, infatti la probabilità di errore è funzione del rapporto segnale/rumore: $(Eb)/(No)$.
Ciao e grazie della risposta. Scusami ma la tua definizione di $d$ non dovrebbe avere sotto radice le due energie al quadrato?
Altra domanda, nella tua definizione di $N_0$, quella $T$ è la temperatura di rumore o la mia $T$, l'intervallo?
Se è la temperatura di rumore, posso assumere $T=290K$ anche se non specificato?
Grazie
Altra domanda, nella tua definizione di $N_0$, quella $T$ è la temperatura di rumore o la mia $T$, l'intervallo?
Se è la temperatura di rumore, posso assumere $T=290K$ anche se non specificato?
Grazie
Nello spazio dei segnali la definizione di distanza è la seguente:
La densità di rumore $No$ è proporzionale alla temperatura equivalente del sistema che però non è 290K, ma dipende dalla figura di rumore del ricevitore. A parità di $No$ il sistema ha prestazioni diverse in base alla scelta di $ au1$ e $ au2$.
La densità di rumore $No$ è proporzionale alla temperatura equivalente del sistema che però non è 290K, ma dipende dalla figura di rumore del ricevitore. A parità di $No$ il sistema ha prestazioni diverse in base alla scelta di $ au1$ e $ au2$.
Quella è la formula generale, ma se li vogliamo ortogonali stanno ai vertici di un triangolo (anzi, stanno ai lati di un rettangolo, essendo la dimensione dello spazio pari a 2), e quindi la distanza è la diagonale, che si calcola con il Teorema di Pitagora $d=sqrt(epsilon_1^2+epsilon_2^2)$
Non è corretto?
Non è corretto?
La distanza non ha come dimensione l'energia: ma la radice quadrata dell'energia.
Giusto, ecco dove sbagliavo!
Posso quindi completare l'esercizio come segue:
la distanza è pari a $d=sqrt(A^2tau_1+A^2(T-tau_2)) = Asqrt(T+tau_1-tau_2)$,
e lasciare poi la probabilità di errore in formula ($P(e)=Q(d/sqrt(2N_0))$), visto che nella traccia non mi vengono dati i valori di $N_0$ e $T$ necessari a calcolarla esplicitamente. O mi sto perdendo qualcos'altro?
Posso quindi completare l'esercizio come segue:
la distanza è pari a $d=sqrt(A^2tau_1+A^2(T-tau_2)) = Asqrt(T+tau_1-tau_2)$,
e lasciare poi la probabilità di errore in formula ($P(e)=Q(d/sqrt(2N_0))$), visto che nella traccia non mi vengono dati i valori di $N_0$ e $T$ necessari a calcolarla esplicitamente. O mi sto perdendo qualcos'altro?
Credo che la cosa migliore sia esprimere la distanza in ragione della sola $ au1$ partendo dalla disuguaglianza ottenuta come condizione di ortogonalita’.
Intendi prendere la condizione $tau_2 >= tau_1$ con il segno di uguaglianza?
Ma così facendo non mi limito al solo caso in cui i due segnali sono "attaccati", cioè quando la fine del primo coincide con l'inizio del secondo?
Questa soluzione invece non dovrebbe essere valida anche quando il secondo segnale sta "ancora più a destra" del primo? I due segnali rimangono ortogonali anche se non sono contigui, giusto?
Ma così facendo non mi limito al solo caso in cui i due segnali sono "attaccati", cioè quando la fine del primo coincide con l'inizio del secondo?
Questa soluzione invece non dovrebbe essere valida anche quando il secondo segnale sta "ancora più a destra" del primo? I due segnali rimangono ortogonali anche se non sono contigui, giusto?
Infatti mi sono riferito alla disuguaglianza.
Quindi intendevi esprimere la distanza come $d <= Asqrt(T)$, che si ottiene guardando la $tau_2>=tau_1$?
Ok.
Bene, grazie per avermi aiutato a chiarire un po' le idee e a risolvere l'esercizio, buon fine settimana!
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