[fondamenti di automatica] Risposta Analitica

[wow13]

Ciao a tutti ho questa traccia :

x1(t) = x1(t) − 2x2(t) + u(t)
x2(t) = 3x1(t) − 6x2(t) + 3 u(t)
y(t) = x2(t)

Calcolare l’espressione analitica della risposta del sistema, quando si applichi in ingresso il segnale
u(t) =1(t) − 1(t − 5), a partire da condizioni iniziali nulle.
Suggerimento: si ricordi che per un sistema lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

Qualcuno mi può aiutare non so come applicare il principio di sovrapposizione degli effetti Grazie mille in anticipo

[Nietzsche610]

Ciao!
Intanto potresti mettere il sistema in forma matriciale:

$\bb(\dotx)=((1,-2),(3,-6))\bbx+((1),(3))u$

$y=(0$ $1)\bbx$.

La risposta del sistema sarà $y(t)$. In generale, dato un sistema nella forma:

$\{(\bb(\dotx)=A\bbx+Bu),(y=Cx):},$

applicando la trasformata di Laplace alla prima equazione ottieni

$\mathcal(L)(\bb(\dotx))=A\mathcal(L)(\bbx)+B\mathcal(L)(u)$

$s\bbX(s)-\bbx(0)=A\bbX(s)+BU(s)$,

dove $X(s)$ e $U(s)$ sono rispettivamente le trasformate di $x(t)$ e di $u(t)$. Tenuto conto che $\bbx(0)=\bb0$:

$s\bbX(s)=A\bbX(s)+BU(s)$

$->\bbX(s)=(sI-A)^(-1)BU(s)$.

Quindi, sostituendo nella seconda equazione del precedente sistema ottieni $Y(s)=C(sI-A)^(-1)BU(s)$ e quindi la risposta del sistema sarà data dall'antitrasformata di $\mathcal(L)^(-1){Y(s)}=\mathcal(L)^(-1){C(sI-A)^(-1)BU(s)}$.

[wow13]

a me avevano suggerito di usare il principio di sovrapposizione degli effetti e scomponendo l'ingresso u(t), cioè:
essendo u(t)=1(t)-1(t-5)..lo studio prima con ingresso u=1(t) e poi con u=-1(t-5)...è giusto?

[Nietzsche610]

Certo che lo puoi fare, ma non ne vedo il motivo sinceramente, dato che la trasformata di Laplace di quell'ingresso è immediata.

$\mathcal(L){1(t)-1(t-5)}(s)=1/s-exp{-5s}/s=(1-exp{-5s})/s$.

[wow13]

si infatti ma a noi il professore lo fa risolvere in modo diverso (guardando su internet non c'è nessuno che la svolge come noi) in poche parole abbiamo un sistema con un interruttore e ci fa fare una tabella con t prima dell'apert dell'int e con t dopo l'apertura e noi dobbiamo vedere quando calcolarci la risposta libera,forzata o a regime. Però lui negli esercizi svolti in aula lo ha sempre fatto con segnali semplici del tipo rampa ecc, per questo qundo ho visto questo tipo di ingresso ho pensato di suddividerlo per poi calcolarmi le diverse risposte con i diversi segnali...non so se mi sono spiegato bene