[Fondamenti di Automatica] Luogo delle radici e asse imm.
Come faccio a sapere se nel disegnare il luogo delle radici devo attraversare oppure no l'asse immaginario?
Nel mio caso porto questo esempio:
data $G(s)=(s^2 +4s +20)/(s*(s^2 +2s +2))$ mi sono trovato i poli ($p=0$,$p=-1-2i$,$p=-1+2i$) e gli zeri ($z=-2-i8$,$-2+i8$). L'eccesso tra poli e zeri è 1, quindi un polo (quello in 0) va all'infinito. Mi sono calcolato gli angoli di partenza e di arrivo di poli e zeri e poi ho tracciato il luogo delle radici positivo e negativo. Per quanto riguarda il luogo negativo, i due zeri complessi coniugati convergono sui due poli complessi coniugati. Per quanto riguarda il luogo positivo, i due poli complessi coniugati convergono ai due zeri complessi coniugati. Ho disegnato il luogo senza passare per l'asse immaginario, però al computer vedo che ci deve essere un attraversamento.
Ho visto con Routh-Hurwitz che la stabilità è verificata solo per $02$. Posso ricavarmi da queste informazioni se devo attraversare l'asse immaginario oppure no?
Grazie.
Nel mio caso porto questo esempio:
data $G(s)=(s^2 +4s +20)/(s*(s^2 +2s +2))$ mi sono trovato i poli ($p=0$,$p=-1-2i$,$p=-1+2i$) e gli zeri ($z=-2-i8$,$-2+i8$). L'eccesso tra poli e zeri è 1, quindi un polo (quello in 0) va all'infinito. Mi sono calcolato gli angoli di partenza e di arrivo di poli e zeri e poi ho tracciato il luogo delle radici positivo e negativo. Per quanto riguarda il luogo negativo, i due zeri complessi coniugati convergono sui due poli complessi coniugati. Per quanto riguarda il luogo positivo, i due poli complessi coniugati convergono ai due zeri complessi coniugati. Ho disegnato il luogo senza passare per l'asse immaginario, però al computer vedo che ci deve essere un attraversamento.
Ho visto con Routh-Hurwitz che la stabilità è verificata solo per $0
Grazie.
Risposte
beh ad occhio e croce direi che...
se per routh hai che il sistema è asintoticamente stabile per ogni k t.c. $02$ significa che per quei k la parte reale dei poli è negativa (=> il luogo sarà a sinistra dell'asse immaginario), invece per i k che non soddisfano la precedente alcuni poli avranno parte reale positiva.
se consideri k uguale ad uno dei valori limite avrai che per quel k il luogo avra poli sull'asse immaginario.
dunque secondo me dovresti porre per esempio $k=2$, andare nella tabella di routh e vedere se si annulla una riga. a questo punto per le proprietà della tabella di routh hai che se c'è un'intera riga nulla le soluzioni dell'equazione ausiliaria ti danno un sottoinsieme delle soluzioni del polinomio di cui hai fatto la tabella.
risolvendo dunque l'ausiliaria per k=2 troverai due radici puramente immaginarie e coniugate che dovrebbero essere ciò che cerchi. ovviamente fai sto prcedimento anche per gli altri punti di confine.
non ti assicuro la validità di quanto ti o appena detto, è sol oun ragionamento
se per routh hai che il sistema è asintoticamente stabile per ogni k t.c. $0
se consideri k uguale ad uno dei valori limite avrai che per quel k il luogo avra poli sull'asse immaginario.
dunque secondo me dovresti porre per esempio $k=2$, andare nella tabella di routh e vedere se si annulla una riga. a questo punto per le proprietà della tabella di routh hai che se c'è un'intera riga nulla le soluzioni dell'equazione ausiliaria ti danno un sottoinsieme delle soluzioni del polinomio di cui hai fatto la tabella.
risolvendo dunque l'ausiliaria per k=2 troverai due radici puramente immaginarie e coniugate che dovrebbero essere ciò che cerchi. ovviamente fai sto prcedimento anche per gli altri punti di confine.
non ti assicuro la validità di quanto ti o appena detto, è sol oun ragionamento
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