[Fondamenti di Automatica] Linearizzazione

[namec5]

Buongiorno a tutti,
ho un esercizio sulla linerizzazione da svolgere. Vi posto la traccia :
Dato il sistema fisico descritto da
$ { ( dot(x1)=-x1^3 +sin(u) ),( dot(x2)=x1+x2+cos(u) ),( y=x1+x2^2 ):} $
a) trovare i possibili punti di equilibrio per u=0
b) linearizzare il sistema intorno ad essi
c) determinare la stabilità del sistema linearizzato
Allora i primi due punti li ho svolti;
i punti di equilibrio per u=0 sono:
$ x1=0, x2=-1 $
Il sistema linearizzato rispetto a essi è :
$ { ( partial dot(x)=( ( -3x1^2 , 0 ),( 1 , 1 ) ) partialx + ( ( 1 ),( 0 ) )partialu ),( partialy= ( 1 \ \ -2 )partialx ):} $
Il terzo punto non ho capito come si fa!
Dei primi due punti non so se stato fatto bene!
Vi ringrazio anticipatamente!

[Vexx23*]

Linearizzi l'equazione di stato del sistema:
\( \delta x = x - \bar{x}\) dove \(\bar{x}\) è la soluzione di equilibrio.
Ovviamente \(\delta \dot{x} = \dot{x} \) poichè \(\dot{\bar{x}}=0\) essendo una soluzione costante, per definizione.
Considerando piccole perturbazioni dello stato perciò, si può scrivere l'equazione di stato, attraverso il suo sviluppo di Taylor al primo ordine:
\(\delta \dot{x} = \dot{x} = f(x(t),u(t)) \approx f(\bar{x}, \bar{u}) + \frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{x=\bar{x}}(x-\bar{x}) + \frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{u=\bar{u}}(u-\bar{u}) = \dot{\bar{x}} + A\delta x + B \delta u = A\delta x + B \delta u \).
La stabilità può essere studiata in modo non esaustivo attraverso l'analisi modale, e quindi la ricerca degli autovalori di \(A\).
Se tutti gli autovalori sono a parte reale strettamente negativa allora la soluzione di equilibrio sarà asintoticamente stabile.
Se esiste almeno un autovalore a parte reale positiva allora la soluzione di equilibrio sarà instabile. Tutte le alte implicazioni non possono essere asserite.