[Fluidodinamica] paratoia

[AntoS14]

Salve a tutti! vorrei chiedervi spiegazioni riguardo a questo esercizio svolto: vorrei capire perché la componente orizzontale della spinta viene calcolata in questo modo, cioè come fa ad ottenere la posizione del baricentro e dell'area,entrambi rispetto a x? vorrei capire anche come calcola la componente verticale, dato che l'immagine della proiezione non è molto chiara

[Sinuous]

Se mi ricordo ancora qualcosa dell’argomento, credo che il problema possa essere impostato così:

La pressione sulla superficie del cilindro di larghezza unitaria può essere scritta come:

$p=\rho *g*(s+R*sin(\theta))$


La superficie elementare su cui la spinta si applica, per la componente orizzontale vale:

$ R*cos(\theta)d\theta$


E quella per la componente verticale:

$R*sin(\theta)d\theta$


Quindi la spinta (pressione per superficie) orizzontale diventa:

$So=\int_{0}^{\pi/2}(\rho*g*(s+R*sin(\theta))*R*cos(\theta))d\theta=\rho*g*s*R*\int_{0}^{\pi/2}(cos(\theta))d\theta+\rho*g*R^2*\int_{0}^{\pi/2}(sin(\theta)cos(\theta))d\theta=\rho*g*s*R+\rho*g*R^2/2$


E quella verticale:

$Sv=\int_{0}^{\pi/2}(\rho*g*(s+R*sin(\theta))*R*sin(\theta))d\theta=\rho*g*s*R*\int_{0}^{\pi/2}(sin(\theta))d\theta+\rho*g*R^2*\int_{0}^{\pi/2}sin(\theta)^2d\theta=\rho*g*s*R+\rho*g*R^2*\pi/4$

Oppure, con un semplice cambio di variabile:

$So=\int_{0}^{R}(\rho*g*(s+y))dy$

$Sv=\int_{0}^{R}(\rho*g*(s+\sqrt{(R^2-x^2)}))dx$

Le funzioni integrande dovrebbero rappresentare qui i contributi elementari alla spinta, rispettivamente orizzontale e verticale, che sono riportati graficamente.

[AntoS14]

"Sinuous":Se mi ricordo ancora qualcosa dell’argomento, credo che il problema possa essere impostato così:

La pressione sulla superficie del cilindro di larghezza unitaria può essere scritta come:

$p=\rho *g*(s+R*sin(\theta))$


La superficie elementare su cui la spinta si applica, per la componente orizzontale vale:

$ R*cos(\theta)d\theta$


E quella per la componente verticale:

$R*sin(\theta)d\theta$


Quindi la spinta (pressione per superficie) orizzontale diventa:

$So=\int_{0}^{\pi/2}(\rho*g*(s+R*sin(\theta))*R*cos(\theta))d\theta=\rho*g*s*R*\int_{0}^{\pi/2}(cos(\theta))d\theta+\rho*g*R^2*\int_{0}^{\pi/2}(sin(\theta)cos(\theta))d\theta=\rho*g*s*R+\rho*g*R^2/2$


E quella verticale:

$Sv=\int_{0}^{\pi/2}(\rho*g*(s+R*sin(\theta))*R*sin(\theta))d\theta=\rho*g*s*R*\int_{0}^{\pi/2}(sin(\theta))d\theta+\rho*g*R^2*\int_{0}^{\pi/2}sin(\theta)^2d\theta=\rho*g*s*R+\rho*g*R^2*\pi/4$

Oppure, con un semplice cambio di variabile:

$So=\int_{0}^{R}(\rho*g*(s+y))dy$

$Sv=\int_{0}^{R}(\rho*g*(s+\sqrt{(R^2-x^2)}))dx$

Le funzioni integrande dovrebbero rappresentare qui i contributi elementari alla spinta, rispettivamente orizzontale e verticale, che sono riportati graficamente.

Grazie mille davvero! ora mi è più chiaro un'ultima cosa: perché quello come intervallo di integrazione per entrambe le spinte?

[Sinuous]

Come conseguenza del cambio di variabile:

$y=R*sin(\theta)$
$dy=R*cos(\theta)d\theta$

$x=R*cos(\theta)$
$dx=-R*sin(\theta)d\theta$

Cambiano gli estremi di integrazione, da: $0, \pi/2$ a:$0,R$.

Considera poi, con riferimento al disegno, che i contributi elementari alla spinta si applicano proprio per una lunghezza pari a R sia in verticale che in orizzontale