[Fluidodinamica] Conservazione della Vorticità
Buonasera, avrei bisogno di una mano con questo teorema.
In seguito alla dimostrazione che una lastra piana è sempre sorgente di vorticità è stato enunciato il teorema della conservazione della vorticità: $$\frac{D}{Dt}\int_\Omega \vec{\omega}(x,y,z,t)d\Omega = 0$$
Come dimostrazione nel tridimentionale è stato detto che per il teorema di stokes:
$$\int_{\partial\Omega}\vec{\omega}\,\hat{n} dS=\int_\Omega div(\vec\omega)d\Omega$$
ma: $$\vec\omega=rot(\vec{v})$$ Inoltre $$div(rot(...))\overset{\text{def}}{=}0$$ Quindi:
$$\int_{\partial\Omega}\vec{\omega}\,\hat{n} dS=0$$
Cioè tanta vorticità entra tanta vorticità esce dal mio dominio, quindi la quantià all' interno si conserva
Non mi sembra una dimostrazione molto rigorosa (anzi, oserei dire che non dimostra nulla), perchè nella tesi non appare ne il flusso ne la divergenza, andando anche a scomporre l'integrale con il teorema del trasporto non mi sembra di arrivare a nulla a meno che non si faccia l'ipotesi di incomprimibilità...
Grazie a tutti in anticipo
In seguito alla dimostrazione che una lastra piana è sempre sorgente di vorticità è stato enunciato il teorema della conservazione della vorticità: $$\frac{D}{Dt}\int_\Omega \vec{\omega}(x,y,z,t)d\Omega = 0$$
Come dimostrazione nel tridimentionale è stato detto che per il teorema di stokes:
$$\int_{\partial\Omega}\vec{\omega}\,\hat{n} dS=\int_\Omega div(\vec\omega)d\Omega$$
ma: $$\vec\omega=rot(\vec{v})$$ Inoltre $$div(rot(...))\overset{\text{def}}{=}0$$ Quindi:
$$\int_{\partial\Omega}\vec{\omega}\,\hat{n} dS=0$$
Cioè tanta vorticità entra tanta vorticità esce dal mio dominio, quindi la quantià all' interno si conserva
Non mi sembra una dimostrazione molto rigorosa (anzi, oserei dire che non dimostra nulla), perchè nella tesi non appare ne il flusso ne la divergenza, andando anche a scomporre l'integrale con il teorema del trasporto non mi sembra di arrivare a nulla a meno che non si faccia l'ipotesi di incomprimibilità...
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Perché non ti sembra rigorosa? A me sembra rigorosissima...
E' una conseguenza della definizione di vorticità.
Si definisca una grandezza vorticità nel seguente modo:
$$ \mathbf w = \nabla \times \mathbf u $$
Ne consegue che $ \nabla \cdot \mathbf w = 0$ e dunque che $ int_S \mathbf w d \mathbf S = 0 $. Se la superficie è fissa quindi puoi dire che tanta vorticità entra tanta ne esce.
Questo che hai appena fatto è stato definire una variabile a caso, che hai arbitrariamente chiamato vorticità, e, in base alla tua arbitraria definizione, hai solo notato che essa ha queste interessanti proprietà. Adesso viene il passaggio logico che magari non ti sembra rigoroso: dare un senso fisico a questa grandezza (visto che, in effetti, "il rotore delle velocità" è un concetto un po' astratto). Il mondo più semplice e rigoroso è dimostrare che $\mathbf w = 2*\Omega$ dove $Omega$ è la velocità angolare. La vorticità è quindi il doppio della velocità angolare.
Per la dimostrazione ho trovato queste slide su internet (http://profs.sci.univr.it/~zuccher/down ... uccher.pdf) pag 59.
E' una conseguenza della definizione di vorticità.
Si definisca una grandezza vorticità nel seguente modo:
$$ \mathbf w = \nabla \times \mathbf u $$
Ne consegue che $ \nabla \cdot \mathbf w = 0$ e dunque che $ int_S \mathbf w d \mathbf S = 0 $. Se la superficie è fissa quindi puoi dire che tanta vorticità entra tanta ne esce.
Questo che hai appena fatto è stato definire una variabile a caso, che hai arbitrariamente chiamato vorticità, e, in base alla tua arbitraria definizione, hai solo notato che essa ha queste interessanti proprietà. Adesso viene il passaggio logico che magari non ti sembra rigoroso: dare un senso fisico a questa grandezza (visto che, in effetti, "il rotore delle velocità" è un concetto un po' astratto). Il mondo più semplice e rigoroso è dimostrare che $\mathbf w = 2*\Omega$ dove $Omega$ è la velocità angolare. La vorticità è quindi il doppio della velocità angolare.
Per la dimostrazione ho trovato queste slide su internet (http://profs.sci.univr.it/~zuccher/down ... uccher.pdf) pag 59.
Cioè è proprio grazie al fatto che tanta vorticità entra e tanta ne esce (grazie alla divergenza del rotore) che posso posso dire che la quantità all'interno si conserva ?
beh si
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