[Fisica Matematica] Momento di inerzia di un triangolo rettangolo

astrolabio95 · 2015-12-04CET13:21:43+01:00

"Salve a tutti ragazzi,\ncome da titolo sto cercando di calcolare il momento di inerzia di un trinagolo rettangolo, rispetto ad un asse parallelo ad un suo cateto. Adesso vi allego un immagine\n\n\n\nIn blu ho messo gli assi $ (x,y) $ rispetto cui bisogna fare il calcolo (l'esercizio chiede l'asse $ y $ ), in nero gli assi $ (x_c , y_c) $ coincidenti coi cateti e in rosso $ y_G $ ovvero l'asse passante per il baricentro. Ho proceduto cos\u00ec\n\nHo calcolato il momento di inerzia rispertto ad $ y_c $ e viene\n\n $ I_(y_c)\//rho =int_(0)^(a)x^2 dx int_(0)^(2x)dy = a^4\//2 $ dove l'estremo superiore d'integrazione del secondo integrale l'ho ricavato da $ hx\//b $ dove $ h $ \u00e8 l'altezza e $ b $ la base del triangolo.\n\nSuccessivamente ho applicato il teorema di Huyghens due vote e viene \n\n $ { ( I_(y_c)=I_(y_G)+mD^2 ),( I_y=I_(y_G)+md^2 ):} $ dove $ D=dist(G,y_c)= a\//3 $ e $ d=dist(G,y)=4\//3a $ \ned $ m=a^2 $ la massa del triangolo. Ho sottratto membro a membro e il risultato che ne viene \u00e8 $ I_y=13\//6a^4 $ \n\nHo ragionato bene? Esiste un metodo pi\u00f9 rapido? Grazie a tutti"

Fai una domanda Tutte le categorie

astrolabio95

4 dic 2015, 13:21

Salve a tutti ragazzi,
come da titolo sto cercando di calcolare il momento di inerzia di un trinagolo rettangolo, rispetto ad un asse parallelo ad un suo cateto. Adesso vi allego un immagine

In blu ho messo gli assi $ (x,y) $ rispetto cui bisogna fare il calcolo (l'esercizio chiede l'asse $ y $ ), in nero gli assi $ (x_c , y_c) $ coincidenti coi cateti e in rosso $ y_G $ ovvero l'asse passante per il baricentro. Ho proceduto così

Ho calcolato il momento di inerzia rispertto ad $ y_c $ e viene

$ I_(y_c)/rho =int_(0)^(a)x^2 dx int_(0)^(2x)dy = a^4/2 $ dove l'estremo superiore d'integrazione del secondo integrale l'ho ricavato da $ hx/b $ dove $ h $ è l'altezza e $ b $ la base del triangolo.

Successivamente ho applicato il teorema di Huyghens due vote e viene

$ { ( I_(y_c)=I_(y_G)+mD^2 ),( I_y=I_(y_G)+md^2 ):} $ dove $ D=dist(G,y_c)= a/3 $ e $ d=dist(G,y)=4/3a $
ed $ m=a^2 $ la massa del triangolo. Ho sottratto membro a membro e il risultato che ne viene è $ I_y=13/6a^4 $

Ho ragionato bene? Esiste un metodo più rapido? Grazie a tutti

Risposte

ELWOOD1

4 dic 2015, 16:21

non capisco perchè hai applicato 2 volte il teorema di H&Steiner...

astrolabio95

4 dic 2015, 16:34

"ELWOOD":
non capisco perchè hai applicato 2 volte il teorema di H&Steiner...

Per avere una relazione tra $ I_y $ e $ I_(y_c) $

ELWOOD1

4 dic 2015, 16:55

secondo me le 2 relazioni sono indipendenti e non puoi sommarle tra loro....se vedi infatti il momento baricentrico vale $I_{yg}=\frac{a^4}{18}$ e applicando Steiner si ha $I_{y}=\frac{11}{6}a^4$

astrolabio95

4 dic 2015, 17:14

"ELWOOD":
secondo me le 2 relazioni sono indipendenti e non puoi sommarle tra loro....se vedi infatti il momento baricentrico vale $I_{yg}=\frac{a^4}{18}$ e applicando Steiner si ha $I_{y}=\frac{11}{6}a^4$

Non so, in un esercizio svolto in classe abbiamo fatto così... queste cose sui momenti mi stanno confondendo!

astrolabio95

4 dic 2015, 18:49

Però se ci pensi tra $ 11/6 $ e $ 13/6 $ non ci passa granché differenza, magari ho commesso qualche errore di calcolo. Non credo che in aula desse una relazione fasulla

ELWOOD1

5 dic 2015, 09:26

ciao.....scoperto l'arcano.

Il ragionamento del sistema è giusto, ciò che sbagli è il calcolo di $I_{yc}$....vedi se trovi l'errore

astrolabio95

5 dic 2015, 10:26

"ELWOOD":
ciao.....scoperto l'arcano.

Il ragionamento del sistema è giusto, ciò che sbagli è il calcolo di $I_{yc}$....vedi se trovi l'errore

Ecco, lo sapevo che era l'integrale, ci sto sbattendo la testa da ieri sera! Non riesco proprio ad individurare l'errore, non ho ancora nemmeno dato Analisi II...