[Fisica Matematica] Baricentro di una lamina omogenea
Salve a tutti,
mi trovo alle prese col determinare le coordinate del baricentro di questa lamina omogenea e mi è sorto un dubbio.
Per svolgere l'esercizio ho ragionato così: la lamina in figura si ottiene sottraendo al
1)rettangolo di base 8a ed altezza 6a massa $ 48a^2 $
2)il rettangolo di base 6a ed altezza 3a massa $ 18a^2 $
3)il rettangolo di base 2a ed altezza a massa $ 2a^2 $
In figura ho segnato in rosso i baricentri G1,G2,G3 rispettivamente del primo, secondo e terzo rettangolo. Quindi indicata con x la coordinata x del baricentro della lamina
$ x= (192a^3-72a^3-8a^3)/(48a^2-18a^2-2a^2)=(112a^3)/(28a^2)=4a $
e con y quella y
$ y= (144a^3-27a^3-9a^3)/(48a^2-18a^2-2a^2)=(108a^3)/(28a^2)=(27)/(7)a $
si nota che così il baricentro della lamina risulta essere più vicino a G3 e non a G1 che è il rettangolo di massa manggiore.
Se invece considerassi i tre baricentri come tre punti materiali G1,G2,G3 allora,sommando,la x risulta invariata e la y risulta $ 45/17a $, ovvero circa 2.7a che risulta quindi più vicino a G1.
Cosa ho sbagliato allora?
Grazie a tutti
mi trovo alle prese col determinare le coordinate del baricentro di questa lamina omogenea e mi è sorto un dubbio.
Per svolgere l'esercizio ho ragionato così: la lamina in figura si ottiene sottraendo al
1)rettangolo di base 8a ed altezza 6a massa $ 48a^2 $
2)il rettangolo di base 6a ed altezza 3a massa $ 18a^2 $
3)il rettangolo di base 2a ed altezza a massa $ 2a^2 $
In figura ho segnato in rosso i baricentri G1,G2,G3 rispettivamente del primo, secondo e terzo rettangolo. Quindi indicata con x la coordinata x del baricentro della lamina
$ x= (192a^3-72a^3-8a^3)/(48a^2-18a^2-2a^2)=(112a^3)/(28a^2)=4a $
e con y quella y
$ y= (144a^3-27a^3-9a^3)/(48a^2-18a^2-2a^2)=(108a^3)/(28a^2)=(27)/(7)a $
si nota che così il baricentro della lamina risulta essere più vicino a G3 e non a G1 che è il rettangolo di massa manggiore.
Se invece considerassi i tre baricentri come tre punti materiali G1,G2,G3 allora,sommando,la x risulta invariata e la y risulta $ 45/17a $, ovvero circa 2.7a che risulta quindi più vicino a G1.
Cosa ho sbagliato allora?
Grazie a tutti
Risposte
Che la risposta corretta sia la prima, non dovrebbe essere posto in discussione, tu hai giustamente calcolato il momento statico del rettangolo grande e poi sottrai le aree mancanti dei due rettangoli piccoli (posto il sistema di riferimento nell'angolo in basso a sinistra della figura) . In realtà non ho capito come ricavi il secondo valore di $y=\frac{45}{17}a$.
Ho considerato i tre baricentri delle tre figure come punti materiali e ho fatto il baricentro di questi tre punti
Questa seconda modalità di procedere è sbagliata perché trascura totalmente la massa della geometria, immagina di avere due sole masse, poste nelle coordinate $(-1;0)$ e $(1;0)$ quella di sinistra ha massa pari a 1000 kg e quella di destra pari a 0,1 kg. Il centro di massa risulterebbe secondo il ragionamento essere nella coordinata $(0;0)$, immagina di farle ora ruotare intorno a questo asse, capisci che avresti uno sbilancio. Spero di essere stato chiaro, altrimenti chiedi pure.
Sei stato chiarissimo grazie. Quindi ogni volta che ho una lamina "forata" procedo per sottrazione?
Non necessariamente, avresti anche potuto pervenire al risultato sommando i rettangoli che formano la lamina, una possibile soluzione sarebbe, partendo da sinistra e spostandoci fino alla mezzeria della figura, 1 rettangolo $a\times 6a$, 1 rettangolo $2a \times 3a$ e 2 rettangoli $2a\times a$, questi ultimi hanno baricentri ovviamente distinti. Le misure sono tutte in base per altezza!
Avrai allora che il momento statico è
\(\displaystyle 2\left( 6a^2 \cdot 3a \right) +2\left( 6a^2 \cdot \frac{9}{2}a \right) +\left( 2a^2 \cdot \frac{7}{2}a \right)+\left( 2a^2 \cdot \frac{11}{2}a \right) = 108a^3\)
Calcolando ora anche l'area
\(\displaystyle 2\cdot 6a^2 +2\cdot 6a^2 +2\cdot 2a^2=28a^2 \)
Dividendo Il momento statico per l'area ottieni ancora $y=\frac{27a}{7}$
In questo caso la somma è più lunga della sottrazione, ma come vedi non è sbagliato eseguirla. Spero solo che tu abbia capito come ho eseguito la suddivisione dei rettangoli altrimenti ti faccio un disegno in velocità.
Due note a margine, giusto per completezza, in presenza di un'asse di simmetria sicuramente passa l'asse baricentrico, quindi con una figura dotata di due assi il baricentro è identicamente identificato senza conti.
Cerca sempre di porre la figura tutta all'interno del I quadrante del sistema di riferimento, altrimenti ti complichi un po' la vita perché potresti avere momenti statici con segno negativo. Spero di non averti confuso con questa ultima informazione.
Avrai allora che il momento statico è
\(\displaystyle 2\left( 6a^2 \cdot 3a \right) +2\left( 6a^2 \cdot \frac{9}{2}a \right) +\left( 2a^2 \cdot \frac{7}{2}a \right)+\left( 2a^2 \cdot \frac{11}{2}a \right) = 108a^3\)
Calcolando ora anche l'area
\(\displaystyle 2\cdot 6a^2 +2\cdot 6a^2 +2\cdot 2a^2=28a^2 \)
Dividendo Il momento statico per l'area ottieni ancora $y=\frac{27a}{7}$
In questo caso la somma è più lunga della sottrazione, ma come vedi non è sbagliato eseguirla. Spero solo che tu abbia capito come ho eseguito la suddivisione dei rettangoli altrimenti ti faccio un disegno in velocità.
Due note a margine, giusto per completezza, in presenza di un'asse di simmetria sicuramente passa l'asse baricentrico, quindi con una figura dotata di due assi il baricentro è identicamente identificato senza conti.
Cerca sempre di porre la figura tutta all'interno del I quadrante del sistema di riferimento, altrimenti ti complichi un po' la vita perché potresti avere momenti statici con segno negativo. Spero di non averti confuso con questa ultima informazione.
Grazie mille sei stato gentilissimo e chiaro!
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