Fisica due, elettrostatica
Ho un problema di fisica II dove non mi esce la legge di Gauss, il problema dice:
L'interno di un guscio sferico conduttore, posto a potenziale di terra, di raggio pari a 2 m, è riempito da una distribuzione uniforme di carica di densità pari a 100nC/m^3 . Si determini il valore del potenziale al centro del guscio e l'energia elettrostatica del sistema.
Io avevo ragionato cosi, mi calcolo il flusso del campo elettrico all'interno di una superficie di raggio r concentrica al guscio, con $ r < R $ , quindi:
$\int vec E* vec ds = 1/\epsilon_0 \int \rho*dv$
$E*4\pi*r^2 = 1 / \epsilon_0 \int_0^r \rho 4/3 * \pi * \xi^3 d\xi $
$E*4\pi*r^2 = 4/3 * ( \pi * \rho) / \epsilon_0 \int_0^r \xi^3 d\xi $
da cui con una serie di conti viene: $E = \rho * r^2 / (12\epsilon_0)$
mentre sul libro viene con lo stesso ragionamento:
$E = \rho / (3\epsilon_0) * r$
perchè?
L'interno di un guscio sferico conduttore, posto a potenziale di terra, di raggio pari a 2 m, è riempito da una distribuzione uniforme di carica di densità pari a 100nC/m^3 . Si determini il valore del potenziale al centro del guscio e l'energia elettrostatica del sistema.
Io avevo ragionato cosi, mi calcolo il flusso del campo elettrico all'interno di una superficie di raggio r concentrica al guscio, con $ r < R $ , quindi:
$\int vec E* vec ds = 1/\epsilon_0 \int \rho*dv$
$E*4\pi*r^2 = 1 / \epsilon_0 \int_0^r \rho 4/3 * \pi * \xi^3 d\xi $
$E*4\pi*r^2 = 4/3 * ( \pi * \rho) / \epsilon_0 \int_0^r \xi^3 d\xi $
da cui con una serie di conti viene: $E = \rho * r^2 / (12\epsilon_0)$
mentre sul libro viene con lo stesso ragionamento:
$E = \rho / (3\epsilon_0) * r$
perchè?
Risposte
L'elementino volumetrico [tex]dV[/tex] a quanto è pari??????
Dal momento che [tex]\rho[/tex] è costante devi solo calcolare il volume di una sfera di raggio [tex]r[/tex], su dai....
Dal momento che [tex]\rho[/tex] è costante devi solo calcolare il volume di una sfera di raggio [tex]r[/tex], su dai....
si....ed io non ho calcolato il volume di una sfera di raggio r?
Quindi secondo i tuoi calcoli il volume di una sfera è [tex]\dfrac{\pi r^4}{3}[/tex], che già dimensionalmente non torna.
Volendolo fare in maniera precisa, nel caso in cui il volume considerato sia una sfera di raggio [tex]r[/tex], in un sistema di coordinate sferiche [tex](\rho,\theta,\phi)[/tex], si ha:
[tex]\displaystyle\int_{R^3}dV=\int_0^r\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho^2\sin\theta\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}\phi=2\pi\int_0^r\int_0^\pi \rho^2\sin\theta\text{d}\rho\text{d}\theta=4\pi\int_0^r\rho^2\text{d}\rho=[/tex]
[tex]=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]
Se non hai visto ancora gli integrali tripli, allora ti basta notare che un elementino di volume della sfera è [tex]dV=4\pi\rho^2d\rho[/tex] (superficie sferica per l'incremento del raggio) che integrato nell'intervallo [tex][0,r][/tex] ti dà lo stesso risultato.
Volendolo fare in maniera precisa, nel caso in cui il volume considerato sia una sfera di raggio [tex]r[/tex], in un sistema di coordinate sferiche [tex](\rho,\theta,\phi)[/tex], si ha:
[tex]\displaystyle\int_{R^3}dV=\int_0^r\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho^2\sin\theta\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}\phi=2\pi\int_0^r\int_0^\pi \rho^2\sin\theta\text{d}\rho\text{d}\theta=4\pi\int_0^r\rho^2\text{d}\rho=[/tex]
[tex]=\frac{4}{3}\pi r^3[/tex]
Se non hai visto ancora gli integrali tripli, allora ti basta notare che un elementino di volume della sfera è [tex]dV=4\pi\rho^2d\rho[/tex] (superficie sferica per l'incremento del raggio) che integrato nell'intervallo [tex][0,r][/tex] ti dà lo stesso risultato.
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