Filtro passabanda
riporto per semplicità il link dell'appello del professore http://ricci.unisalento.it/SS290604.pdf
precisamente terzo esercizio, terzo punto. Non mi è chiaro perché il filtro farebbe passare $u_-1(t) $ e $u_1(t)$, qualche anima pia?
precisamente terzo esercizio, terzo punto. Non mi è chiaro perché il filtro farebbe passare $u_-1(t) $ e $u_1(t)$, qualche anima pia?
Risposte
Ciao Lokad,
ti consiglio di disegnare lo spettro del segnale $ u(t) $ a pezzi.
Concentrati prima sullo spettro $ S(f) $ dell'onda quadra $ s(t) $ che è la somma di infinite funzioni $ delta(f) $ centrate sulle frequenze multiple dispari di $ f_0 $ aventi ampiezza pari al valore dei coefficienti $ s_k $ dello sviluppo.
Per semplicità del disegno, considera solo le prime 3 armoniche: $ (pm f_0, pm3f_0, pm5f_0 $).
Lo spettro del segnale $ m(t) $ non è noto quindi puoi disegnare una funzione arbitraria (es. un triangolino) non nulla entro l'intervallo $ [-B, B] $ e nulla fuori dal medesimo intervallo.
A questo punto basta ricordarsi che ad un prodotto nel dominio del tempo corrisponde una convoluzione nel dominio della frequenza: $ u(t) = s(t)*m(t) hArr U(f) = S(f)**M(f) $ (vedi proprietà della trasformata di Fourier).
Convolvere segnali per via grafica è abbastanza semplice, in rete si trovano spiegazioni e trucchi a iosa, ma nel tuo caso è molto semplice perché uno dei due fattori è la somma di tante funzioni $ delta(f) $. Grazie alle sue proprietà, l'impulso di Dirac "trascina" il segnale con cui è convolto nel suo punto di applicazione.
Quindi lo spettro del segnale $ u(t) $ è composto da tante repliche dello spettro $ M(f) $ centrate intorno a $ (pm f_0, pm3f_0, pm5f_0, ... ) $ ed attenuate rispettivamente dai coefficenti $ (s_{pm1}, s_{pm3}, s_{pm5}, ... ) $.
ti consiglio di disegnare lo spettro del segnale $ u(t) $ a pezzi.
Concentrati prima sullo spettro $ S(f) $ dell'onda quadra $ s(t) $ che è la somma di infinite funzioni $ delta(f) $ centrate sulle frequenze multiple dispari di $ f_0 $ aventi ampiezza pari al valore dei coefficienti $ s_k $ dello sviluppo.
Per semplicità del disegno, considera solo le prime 3 armoniche: $ (pm f_0, pm3f_0, pm5f_0 $).
Lo spettro del segnale $ m(t) $ non è noto quindi puoi disegnare una funzione arbitraria (es. un triangolino) non nulla entro l'intervallo $ [-B, B] $ e nulla fuori dal medesimo intervallo.
A questo punto basta ricordarsi che ad un prodotto nel dominio del tempo corrisponde una convoluzione nel dominio della frequenza: $ u(t) = s(t)*m(t) hArr U(f) = S(f)**M(f) $ (vedi proprietà della trasformata di Fourier).
Convolvere segnali per via grafica è abbastanza semplice, in rete si trovano spiegazioni e trucchi a iosa, ma nel tuo caso è molto semplice perché uno dei due fattori è la somma di tante funzioni $ delta(f) $. Grazie alle sue proprietà, l'impulso di Dirac "trascina" il segnale con cui è convolto nel suo punto di applicazione.
Quindi lo spettro del segnale $ u(t) $ è composto da tante repliche dello spettro $ M(f) $ centrate intorno a $ (pm f_0, pm3f_0, pm5f_0, ... ) $ ed attenuate rispettivamente dai coefficenti $ (s_{pm1}, s_{pm3}, s_{pm5}, ... ) $.
scusa la domanda zio, ma sai dove posso trovare materiale su come tracciare lo spettro di un segnale, lo so la richiesta è banale ma lo sto cercando su internet ma non ho trovato nulla e inoltre sul libro non è nemmeno spiegato!
Mi sono accorto che il mio problema è sostanzialmente quello. Mi scuso per la richiesta
Fermo restando che so fare una trasformata di Fourier eh
Mi sono accorto che il mio problema è sostanzialmente quello. Mi scuso per la richiesta
Fermo restando che so fare una trasformata di Fourier eh
Caro Lokad,
saper fare le trasformate di Fourier è già un ottimo punto di partenza.
Ma una volta finiti i calcoli ciò che ottieni è una funzione (avente dominio reale e valori complessi) e quindi tracciare lo spettro del segnale equivale a disegnare il grafico di quella funzione. Se il tuo problema è lì, ti consiglierei di rispolverare un po' di Analisi Matematica.
Se sei un po' pigro come me, allora ti consiglio di procedere così:
1 - impara bene le proprietà delle trasformate di Fourier, trovi una pagina molto ben fatta su questo stesso sito: http://www.matematicamente.it/formulario_dizionario/formulario/trasformata_di_fourier_200710292936/
2 - applica il più possibile i dualismi tempo-frequenza e le proprietà dell'impulso di Dirac: eviterai calcoli troppo lunghi.
3 - studia i grafici delle trasformate notevoli di Fourier: per cominciare usa la tabellina che trovi al link di cui al punto 1 e per disegnare i grafici delle funzioni puoi usare il comodissimo portale della Wolfram: http://www.wolframalpha.com/
4 - quando svolgi gli esercizi prova sempre a disegnare le funzioni fornite nella traccia e quelle che ottieni dai calcoli.
Più o meno abbiamo fatto tutti così.
Saluti e in bocca al lupo.
ZioPaolo
saper fare le trasformate di Fourier è già un ottimo punto di partenza.
Ma una volta finiti i calcoli ciò che ottieni è una funzione (avente dominio reale e valori complessi) e quindi tracciare lo spettro del segnale equivale a disegnare il grafico di quella funzione. Se il tuo problema è lì, ti consiglierei di rispolverare un po' di Analisi Matematica.
Se sei un po' pigro come me, allora ti consiglio di procedere così:
1 - impara bene le proprietà delle trasformate di Fourier, trovi una pagina molto ben fatta su questo stesso sito: http://www.matematicamente.it/formulario_dizionario/formulario/trasformata_di_fourier_200710292936/
2 - applica il più possibile i dualismi tempo-frequenza e le proprietà dell'impulso di Dirac: eviterai calcoli troppo lunghi.
3 - studia i grafici delle trasformate notevoli di Fourier: per cominciare usa la tabellina che trovi al link di cui al punto 1 e per disegnare i grafici delle funzioni puoi usare il comodissimo portale della Wolfram: http://www.wolframalpha.com/
4 - quando svolgi gli esercizi prova sempre a disegnare le funzioni fornite nella traccia e quelle che ottieni dai calcoli.
Più o meno abbiamo fatto tutti così.
Saluti e in bocca al lupo.
ZioPaolo
ti ringrazio per la pazienza, gentilissimo. Mi metto subito al lavoro.
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