[FdTLC] Convoluzione di segnali rettangolari e calcolo dell'energia

[Marco Beta2]

Buonasera a tutti, sto svolgendo un esercizio che mi chiede di calcolare la convoluzione di due segnali rettangolari, disegnarne il grafico e successivamente di calcolarne l'energia.
I due segnali rettangolari sono:

$ prod((t-2)/2) $

e

$prod((t+3)/2) $

Essendo due segnali rettangolari con la stessa ampiezza ho risolto la richiesta del grafico graficamente (scusate il gioco di parole) e mi ritrovo con la soluzione proposta, dopodichè la soluzione che ho mi da come risultato:

$ z(t)=int_(-oo )^(+oo ) prod((t-2)/2) * prod((t+3)/2) dt = 2 TR ((t+1)/2)$

del quale poi si va a calcolare l'energia tramite integrale... Qualcuno mi può spiegare come ha ottenuto tale risultato in modo tale da poter applicare lo stesso metodo su altri esercizi?
Grazie

[Sinuous]

Dovresti innanzitutto applicare correttamente la definizione di convoluzione, che non corrisponde all’integrale che hai riportato.

Ti consiglio di dare un’occhiata al sito di Wikipedia sull’argomento, che riporta, fra l’altro, un esempio animato proprio con la convoluzione di due segnali rettangolari.

https://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione

[Marco Beta2]

"Sinuous":...

Ciao e grazie per avermi risposto, si la formula della convoluzione è la seguente:

$ ( f ** g)*(t)= int_(-oo )^(+oo) f(tau)*g(t-tau) d tau $

come descritto anche nel link che mi hai proposto... però come la "applico" al caso specifico? Ad esempio in un esercizio come il mio??

[Sinuous]

[Marco Beta2]

"Sinuous":...

Grazie mille e scusami il ritardo ma la rete a lavoro non mi permetteva di vedere l'immagine... Vorrei chiederti altre due cose...
1) operare su uno o sull'altro segnale sarebbe stato uguale?
2) mi potresti spiegare l'ultimo passaggio? Cioè quando l'integrale è tra -1 e +1?

grazie ancora

[Sinuous]

1)
Ovviamente: $f \ast g = g \ast f$

2)
Quando: $t=-1$ la funzione $Pi()$ è esatattamente compresa all’interno dell’intervallo di integrazione e l’area vale: 2.
Quando : $t=-3$ la funzione $Pi()$ ha il bordo superiore coincidente con il limite inferiore di integrazione e l’area vale: 0.
Quando $t=+1$ la funzione $Pi()$ ha il bordo inferiore coincidente con il limite superiore di integrazione e l’area vale: 0.

Nei punti intermedi l’area compresa fra gli estremi di integrazione della funzione $Pi()$, essendo l’altezza costante, dipende linearmente da $t$.

[Marco Beta2]

"Sinuous":...

Grazie mille sei stato chiarissimo, se puoi/vuoi ho altre richieste in merito a questo esercizio...
1) come hai scelto le $t$? Ti chiedo così in un altro esercizio saprò come muovermi?
2) il segnale $prod(z/2)$ dov'è finito?
3) come hai fatto per ottenere alla fine 2 TRI((t+1)/2) cioè come sei passato dall'integrale a quel risultato

Grazie ancora

[Sinuous]

Punto 2) il segnale $Pi(z/2)$ non è finito da nessuna parte: ha solo modificato i limiti dell’integrale di cui era funzione integranda: da –∞ a +∞ diventati da -1 a +1. Era questo il senso del cambio di variabile.

Alla luce di questo, per i punti 1) e 3) sinceramente non credo di potermi spiegare meglio di quanto già fatto.