Esponenziale immaginario discreto - periodicita'
stavo riguardando un po' di cose sui segnali a tempo discreto.
nel mio libro di testo si afferma che per gli esponenziali immaginari discreti ($e^(j Omega_0 n)$ ) la frequenza aumenta quando la pulsazione $Omega_0$ va da $0$ a $pi$, mentre diminuisce quando va da $pi$ a $2 pi$. tuttavia ho provato a calcolare la frequenza per alcune pulsazioni: $pi/8, 2/8 pi, 3/8 pi, 4/8 pi, .., pi$, dunque per pulsazioni da $0$ a $pi$, e quello che si verifica è che la frequenza alla pulsazione $pi/8$ è uguale a quella alla puls 3pi/8, dunque sembrerebbe falsa l'affermazione sopra. qualcuno mi puo' aiutare?
nel mio libro di testo si afferma che per gli esponenziali immaginari discreti ($e^(j Omega_0 n)$ ) la frequenza aumenta quando la pulsazione $Omega_0$ va da $0$ a $pi$, mentre diminuisce quando va da $pi$ a $2 pi$. tuttavia ho provato a calcolare la frequenza per alcune pulsazioni: $pi/8, 2/8 pi, 3/8 pi, 4/8 pi, .., pi$, dunque per pulsazioni da $0$ a $pi$, e quello che si verifica è che la frequenza alla pulsazione $pi/8$ è uguale a quella alla puls 3pi/8, dunque sembrerebbe falsa l'affermazione sopra. qualcuno mi puo' aiutare?
Risposte
Qualcosa non torna. Tra l'altro, se l'esponente deve essere adimensionale, come può comparire una pulsazione senza che compaia una variabile temporale?
intanto grazie di aver risposto, ormai non ci speravo più.
la variabile temporale è n, perchè siamo nel dominio discreto (segnali a tempo discreto). la mia osservazione ti pare corretta o no?
la variabile temporale è n, perchè siamo nel dominio discreto (segnali a tempo discreto). la mia osservazione ti pare corretta o no?
scusa ma la frequenza come la calcoli da $Omega_0$ ?
$Omega_0 / (2 pi) = 1/T = f$
naturalmente a patto che il rapporto sia un numero razionale, perchè siamo nel caso discreto. ma ho detto qualcosa di sconvolgente sopra?
[OT]a proposito, cyd, mi sono scordato di ringraziarti in un topic di fisica sullo schermo elettrostatico, ormai lo faccio qui. il mio insegnante mi ha dato la tua stessa motivazione (non che dubitassi, ma siccome ero andato a ricevimento per altri motivi gli ho chiesto pure quello per avere conferma)[/OT]
naturalmente a patto che il rapporto sia un numero razionale, perchè siamo nel caso discreto. ma ho detto qualcosa di sconvolgente sopra?
[OT]a proposito, cyd, mi sono scordato di ringraziarti in un topic di fisica sullo schermo elettrostatico, ormai lo faccio qui. il mio insegnante mi ha dato la tua stessa motivazione (non che dubitassi, ma siccome ero andato a ricevimento per altri motivi gli ho chiesto pure quello per avere conferma)[/OT]
forse ho interpretato male la frase del tuo libro, ma se f è proporzionale a $Omega$ tramite una costante ($1/(2 pi)$) com'è possibile che all'aumentare di $Omega$ diminuisca $f$?
ps. prego
ps. prego
è una differenza che caratterizza i segnali a tempo discreto da quelli a tempo continuo. tutto dipende dal fatto che nel tempo discreto non puoi avere un periodo irrazionale, altrimenti usciresti dal dominio. hai interpretato correttamente.
comunque hai un pm
comunque hai un pm
ciao, ho dato una letta al paragrafo e penso si riferisca a questo: (mi risulta un po difficile da spiegare)
prendi una sinusoide, $c[k]=sin(omega k)$, chiaramente $omega$ dev'essere tale da soddisfare $omega = (2 pi)/T$ con $T in N$
praticamente dice che l'incremento della frequenza del segnale discreto non è continua facend variare $omega$ in $[0,2 pi]$ nel senso che se si parte da $omega=0$ la frequenza è minima ed uguale al caso $omega=2pi$ (cioè è nulla), poi crescendo $omega$ cresce la frequenza del segnale discreto fino al massimo che si raggiunge per $omega=pi$ e poi decresce fino a tronare a zero per $omega=2 pi$. chiaramente ci possono essere punti equifrequenziali, ed è il caso di $omega=pi/2$ e $omega=3/2 pi$:
se prendi per esempio $omega=2 pi$ hai che il segnale discreto è costante, infatti prende un campione ogni $2 pi$ e quindi campiona sempre lo stesso valore per via della periodicità del seno. (in questo caso hai il caso limite che la frequenza del segnale discreto è nulla)
se prendi per esempio $omega=pi/2$ e vai a disegnare i campioni hai
$c[0] = sin (pi/2 *0) = 0$
$c[1] = 1$
$c[2]=0$
$c[3]=-1$
$c[4]=0$ ecc come vedi il periodo è 4 e la frequenza è
se prendi $omega= 3/2 pi$ hai
$c[0]=0$
$c[1]=-1$
$c[2]=0$
$c[3]=1$
$c[4]=0$ e la frequenza è la stessa di prima.
se prendi $omega=pi$ hai (sfasando la sinusoide di pi/2)
$c[0]=1$
$c[1]=-1$
$c[2]=1$ cioè periodo = 2
per rispondere alla tua domanda, la frequenza deve crescere e poi decrescere per omega che vairia in 0-2 pi. è abbastanza facile che nel crescere e decrescere ci siano punti in cui la frequenza è la medesima.
prendi una sinusoide, $c[k]=sin(omega k)$, chiaramente $omega$ dev'essere tale da soddisfare $omega = (2 pi)/T$ con $T in N$
praticamente dice che l'incremento della frequenza del segnale discreto non è continua facend variare $omega$ in $[0,2 pi]$ nel senso che se si parte da $omega=0$ la frequenza è minima ed uguale al caso $omega=2pi$ (cioè è nulla), poi crescendo $omega$ cresce la frequenza del segnale discreto fino al massimo che si raggiunge per $omega=pi$ e poi decresce fino a tronare a zero per $omega=2 pi$. chiaramente ci possono essere punti equifrequenziali, ed è il caso di $omega=pi/2$ e $omega=3/2 pi$:
se prendi per esempio $omega=2 pi$ hai che il segnale discreto è costante, infatti prende un campione ogni $2 pi$ e quindi campiona sempre lo stesso valore per via della periodicità del seno. (in questo caso hai il caso limite che la frequenza del segnale discreto è nulla)
se prendi per esempio $omega=pi/2$ e vai a disegnare i campioni hai
$c[0] = sin (pi/2 *0) = 0$
$c[1] = 1$
$c[2]=0$
$c[3]=-1$
$c[4]=0$ ecc come vedi il periodo è 4 e la frequenza è
se prendi $omega= 3/2 pi$ hai
$c[0]=0$
$c[1]=-1$
$c[2]=0$
$c[3]=1$
$c[4]=0$ e la frequenza è la stessa di prima.
se prendi $omega=pi$ hai (sfasando la sinusoide di pi/2)
$c[0]=1$
$c[1]=-1$
$c[2]=1$ cioè periodo = 2
per rispondere alla tua domanda, la frequenza deve crescere e poi decrescere per omega che vairia in 0-2 pi. è abbastanza facile che nel crescere e decrescere ci siano punti in cui la frequenza è la medesima.
ok, ma forse mi sono spiegato male sopra. il problema si presenta prendendo pulsazioni multiple $pi/8$, come ho riportato nel primo post: a $2/8 pi$ ho che la frequenza è maggiore che a $3/8 pi$, eppure siamo nell'intervallo $[0, pi]$ dunque sembrerebbe sbagliato quello che dicono.
riguardo a quello che hai scritto, sono d'accordo sul fatto che a pulsazioni differenti (pi/2 e 3/2 pi) posso avere la stessa frequenza, ma sono pulsazioni prese una nell'intervallo di crescita, un'altra nell'intervallo di decrescita della frequenza (stando a quando sta scritto sul libro). la mia obiezione era appunto che si può verificare una decrescita della frequenza anche nell'intervallo 0-pi.
riguardo a quello che hai scritto, sono d'accordo sul fatto che a pulsazioni differenti (pi/2 e 3/2 pi) posso avere la stessa frequenza, ma sono pulsazioni prese una nell'intervallo di crescita, un'altra nell'intervallo di decrescita della frequenza (stando a quando sta scritto sul libro). la mia obiezione era appunto che si può verificare una decrescita della frequenza anche nell'intervallo 0-pi.
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