Esercizio studio sistema tempo contintinuo

[claudio_p88]

Dato il sistema con $A=((0,-2,1),(8,0,4),(0,0,-1))$ $B=((0),(1),(1))$ $C=(0,0,1)$ e $D=1$
a)Studiare eccitailità e osservabilità;
b)Calcolare $phi(t), H(t),psi(t),omega(t)$;
c)Si calcoli l'insieme degli stati iniziali, per cui la risosta in evoluzione libera nello stato tende asintoticamente a 0;
d)si calcoli la risposta forzata e, se esiste, permanente all'ingresso $u(t)=t$;
Mi calcolo matrice di raggiungibilità $(B, AB, A^2B)=((0,-1,-9),(1,4,-12),(1,-1,1))$ che ha $det(B, AB, A^2B)=58ne0$, dunque il sistema dovrebbe essere completamente raggiungibile, e quindi eccitabile.
Ci calcoliamo ora la matrice di osservabilità $((C),(CA),(CA^2))=((0,0,1),(0,0,-1),(0,0,1))$, che ha rango = 1, quindi solo uno dei modi è osservabile, la matrice A ha autovalori $lambda_1=-1,lambda_{2,3}=4i$, inoltre la matrice A dovrebbe non essere diagonalizzabile, in quanto la molteplicità algebrica dell'autovalore 4i non corrisponde con quella geometrica. Gli autovettori risultanti dovrebbero essere per $lambda_1$ $u_1=(k frac{9}{17},k frac{-4}{17},k)^T=(9k,-4k,17k)^T$ per $lambda_{2,3}$ $u_{2,3}=(1,2i,0)^T$, ora mi chiedo se A è non diagonalizzabile allora la matrice tranzione nello stato $phi(t)$ non esiste?

[claudio_p88]

calcolo $A+BK=((0,-2,1),(8+k_1, k_2, 4+k_3),(k_1,k_2,-1+k_3))$, il cui polinomio caratteristico, salvo errore nei calcoli risulta:
$-s^3+s^2(-1+k_2+k_3)+s(5k_2-k_1-16)-10k_1+8k_2+16k_3-16$, adesso per stabilizzare dovrei scegliere un polinomio con autovalori negativi, come ad esempio $(s+1)^3$ e ricavarmi $k_1,k_2,k_3$?

[D4lF4zZI0]

Si, se non hai commesso errori con il polinomio caratteristico

[claudio_p88]

ok grazie miille

[claudio_p88]

risolvendo dovrebbe venire $k_1 =frac{83}{58}, k_2 =frac{237}{58}, k_3=frac{-5}{58}$, una volta che mi sono ricavato le k, come posso riscrivermi il sistema stabilizzato?

[D4lF4zZI0]

Avrai commesso degli errori di calcolo.
Infatti, si ha:
$ tilde(A)=A+Bk=( ( 0 , -2 , 1 ),( k_1+8 , k_2 , k_3+4 ),( k_1 , k_2 , k_3-1 ) ) $
Quindi:
$ |sI-tilde(A)|=| ( s , 2 , -1 ),( -(k_1+8) , s-k_2 , -(k_3+4) ),( -k_1 , -k_2 , s-(k_3-1) ) |=s^3+(-k_2-k_3+1)s^2+(k_1-5k_2+16)s+(10k_1-8k_2-16k_3+16)=(s+1)^3=s^3+3s^2+3s+1 $
Quindi:
$ { ( -k_2-k_3+1=3 ),( k_1-5k_2+16=3 ),( 10k_1-8k_2-16k_3+16=1 ):} rArr { ( k_1=-5.8448 ),( k_2=1.4310 ),( k_3=-3.4310 ):} $
Quindi la tua matrice dinamica diventa:
$ tilde(A)=( ( 0 , -2 , 1 ),( k_1+8 , k_2 , k_3+4 ),( k_1 , k_2 , k_3-1 ) )=( ( 0 , -2 , 1 ),( 2.1552 , 1.4310 , 0.569 ),( -5.8448 , 1.4310 , -4.431 ) ) $