Esercizio sistema tempo continuo
si consideri il sistema con funzione di trasferimento: \(\displaystyle W(s)=\frac{s^2-s+1}{(s^3+4s^2+(4k+4)s+16k)(s+3)} \)
1) sia k = 0. Si calcoli, la risposta forzata e se esiste la risposta a regime permanente all'ingresso \(\displaystyle u(t)=t+1 \).
Riporto il mio svolgimento:
riscrivo \( \displaystyle W(s)=\frac{s^2-s+1}{s(s+2)^2(s+3)} \)
abbiamo che \( \displaystyle u(t)=t+1 \) quindi $U(s)=frac{1}{s^2}+frac{1}{s}$ ora abbiamo che $Y(s)=W(s)U(s)=(frac{1}{s^2}+frac{1}{s})*frac{s^2-s+1}{s(s+2)^2(s+3)} $
allora per calcolare la risposta forzata dovrò antitrasformare.
dividiamo in fratti semplici prima $frac{s^2-s+1}{s^3(s+2)^2(s+3)} =frac{A}{s}+frac{B}{s^2}+frac{C}{s^3}+frac{D}{s+2}+frac{E}{(s+2)^2}+ frac{F}{s+3}=frac{127}{432s}+frac{7}{36s^2}+frac{1}{12s^3}+frac{3}{16(s+2)}-frac{7}{8(s+2)^2}- frac{13}{27(s+3)}$
ora dividiamo $ frac{s^2-s+1}{s^2(s+2)^2(s+3)}=frac{1}{12s^2}-frac{5}{4(s+2)}+frac{13}{9(s+3)}+frac{7}{4(s+2)^2}-frac{7}{36s}$, ora antitrasformiamo e sommiamo ed avremo che $y(t)=frac{127}{432}+frac{7t}{36}+frac{1t^2}{24}+frac{3e^{-2t}}{16}-frac{7te^{-2t}}{8}-frac{13e^{-3t}}{27}+frac{1t}{12}-frac{5e^{-2t}}{4}+frac{13e^{-3t}}{9}+frac{7te^{-2t}}{4}-frac{7}{36} =frac{43}{432}+frac{5t}{18}+frac{1t^2}{24}-frac{17e^{-2t}}{16}+frac{7te^{-2t}}{4}+frac{26e^{-3t}}{27}$,
visto che questo che ho risolto(sempre se abbia risolto bene) è uno di cinque punti di uno di tre esercizi di un compito d'esame di cui ho a disposizione due ore e mezza mi chiedo, in questo caso non ho potuto applicare il metodo dei residui per scomporre in fratti semplici e ci ho messo una marea di tempo, qualcuno conosce un metodo più veloce? E secondo poi la risposta forzata che mi sono calcolato è giusta?
1) sia k = 0. Si calcoli, la risposta forzata e se esiste la risposta a regime permanente all'ingresso \(\displaystyle u(t)=t+1 \).
Riporto il mio svolgimento:
riscrivo \( \displaystyle W(s)=\frac{s^2-s+1}{s(s+2)^2(s+3)} \)
abbiamo che \( \displaystyle u(t)=t+1 \) quindi $U(s)=frac{1}{s^2}+frac{1}{s}$ ora abbiamo che $Y(s)=W(s)U(s)=(frac{1}{s^2}+frac{1}{s})*frac{s^2-s+1}{s(s+2)^2(s+3)} $
allora per calcolare la risposta forzata dovrò antitrasformare.
dividiamo in fratti semplici prima $frac{s^2-s+1}{s^3(s+2)^2(s+3)} =frac{A}{s}+frac{B}{s^2}+frac{C}{s^3}+frac{D}{s+2}+frac{E}{(s+2)^2}+ frac{F}{s+3}=frac{127}{432s}+frac{7}{36s^2}+frac{1}{12s^3}+frac{3}{16(s+2)}-frac{7}{8(s+2)^2}- frac{13}{27(s+3)}$
ora dividiamo $ frac{s^2-s+1}{s^2(s+2)^2(s+3)}=frac{1}{12s^2}-frac{5}{4(s+2)}+frac{13}{9(s+3)}+frac{7}{4(s+2)^2}-frac{7}{36s}$, ora antitrasformiamo e sommiamo ed avremo che $y(t)=frac{127}{432}+frac{7t}{36}+frac{1t^2}{24}+frac{3e^{-2t}}{16}-frac{7te^{-2t}}{8}-frac{13e^{-3t}}{27}+frac{1t}{12}-frac{5e^{-2t}}{4}+frac{13e^{-3t}}{9}+frac{7te^{-2t}}{4}-frac{7}{36} =frac{43}{432}+frac{5t}{18}+frac{1t^2}{24}-frac{17e^{-2t}}{16}+frac{7te^{-2t}}{4}+frac{26e^{-3t}}{27}$,
visto che questo che ho risolto(sempre se abbia risolto bene) è uno di cinque punti di uno di tre esercizi di un compito d'esame di cui ho a disposizione due ore e mezza mi chiedo, in questo caso non ho potuto applicare il metodo dei residui per scomporre in fratti semplici e ci ho messo una marea di tempo, qualcuno conosce un metodo più veloce? E secondo poi la risposta forzata che mi sono calcolato è giusta?
Risposte
Sbaglio o hai dimenticato l'altro addendo della risposta ( quello che moltiplica $1/s$ )?
In ogni caso potresti provare a sfruttare il teorema della convoluzione e vedere se impieghi meno tempo ( in fondo sono tutti esponenziali quindi gli integrali dovrebbero essere immediati )
In ogni caso potresti provare a sfruttare il teorema della convoluzione e vedere se impieghi meno tempo ( in fondo sono tutti esponenziali quindi gli integrali dovrebbero essere immediati )
No, ci dovrebbe essere avevo sbagliato a scrivere, ora ho modificato poi li ho sommati.
Per quanto riguarda la risposta a regime permanente dovrebbe non esistere in quanto come già detto $ Y(s)=W(s)U(s)=(frac{1}{s^2}+frac{1}{s})*frac{s^2-s+1}{s(s+2)^2(s+3)} $ dovrebbe presentare poli con molteplicità diversa da 1 nell'origine ed osservabili?
Infatti hai ragione.
Comunque, hai provato a farla con la convoluzione e a vedere se impieghi meno tempo?
Comunque, hai provato a farla con la convoluzione e a vedere se impieghi meno tempo?
Ho provato a guardare qualcosa, ma non é che mi sia molto chiaro come applicare
La risposta del sistema vale $ Y(s)=(1/s^2+1/s)(s^2-s+1)/(s(s+2)^2(s+3))=(s^2-s+1)/(s^3(s+2)^2(s+3))+(s^2-s+1)/(s^2(s+2)^2(s+3))=...=
(s^3+1)/(s^3(s+2)^2(s+3)) =1/((s+2)^2(s+3)) +1/(s^3(s+2)^2(s+3)) $
Il primo addendo è facile da antitrasformare; infatti:
$ 1/((s+2)^2(s+3)) =1/(s+2)^2 1/(s+3) rarr te^(-2t)** e^(-3t)=int_(0)^(t) (taue^(-2tau)e^(-3(t-tau)) )d tau $
Risolvendo questo integrale ( si fa velocemente con una integrazione per parti ) vien fuori:
$ int_(0)^(t) (taue^(-2tau)e^(-3(t-tau)) )d tau = e^(-3t)[e^t(t+1)+1] $
Il secondo addendo viene facile in quanto ha un fattore in comune col precedente:
$ 1/(s^3(s+2)^2(s+3))=1/s^3 1/((s+2)^2(s+3))rarr 1/2t^2**e^(-3t)[e^t(t+1)+1]
=int_(0)^(t) 1/2tau^2e^(-3(t-tau))[e^(t-tau)(t-tau+1)+1] d tau $
che si risolve, anche in questo caso, con una o forse due integrazioni per parti.
Credo che questa strada sia più veloce della scomposizione in fratti semplici...
(s^3+1)/(s^3(s+2)^2(s+3)) =1/((s+2)^2(s+3)) +1/(s^3(s+2)^2(s+3)) $
Il primo addendo è facile da antitrasformare; infatti:
$ 1/((s+2)^2(s+3)) =1/(s+2)^2 1/(s+3) rarr te^(-2t)** e^(-3t)=int_(0)^(t) (taue^(-2tau)e^(-3(t-tau)) )d tau $
Risolvendo questo integrale ( si fa velocemente con una integrazione per parti ) vien fuori:
$ int_(0)^(t) (taue^(-2tau)e^(-3(t-tau)) )d tau = e^(-3t)[e^t(t+1)+1] $
Il secondo addendo viene facile in quanto ha un fattore in comune col precedente:
$ 1/(s^3(s+2)^2(s+3))=1/s^3 1/((s+2)^2(s+3))rarr 1/2t^2**e^(-3t)[e^t(t+1)+1]
=int_(0)^(t) 1/2tau^2e^(-3(t-tau))[e^(t-tau)(t-tau+1)+1] d tau $
che si risolve, anche in questo caso, con una o forse due integrazioni per parti.
Credo che questa strada sia più veloce della scomposizione in fratti semplici...
Sinceramente non so quale tra le due sia la più corta, comunque grazie mille per la spiegazione.
Ho un altro punto in cui mi viene chiesto: sia k = 0 calcolare una realizzazione minima in forma canonica osservabile. Posto svolgimento:
$A=((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,-12,-16,-7))$ $B=((0),(0),(0),(1))$ $C=(1,-1,1,0)$e $D=0$
dovrebbe essere così?
Ho un altro punto in cui mi viene chiesto: sia k = 0 calcolare una realizzazione minima in forma canonica osservabile. Posto svolgimento:
$A=((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,-12,-16,-7))$ $B=((0),(0),(0),(1))$ $C=(1,-1,1,0)$e $D=0$
dovrebbe essere così?
Si è corretto
Altro punto, discutere la stabilità del sistema al variare di k.
Ho applicato il criterio di Routh al polinomio\( \displaystyle (s^3+4s^2+(4k+4)s+16k) \) in quanto il termine \(\displaystyle (s+3) \) del denominatore contiene un autovalore negativo, dunque:
$((1,4k+4),(4,16k),(4,0),(16k,0))$ allora il sistema sarà asintoticamente stabile per \(\displaystyle k>0 \)
Ho applicato il criterio di Routh al polinomio\( \displaystyle (s^3+4s^2+(4k+4)s+16k) \) in quanto il termine \(\displaystyle (s+3) \) del denominatore contiene un autovalore negativo, dunque:
$((1,4k+4),(4,16k),(4,0),(16k,0))$ allora il sistema sarà asintoticamente stabile per \(\displaystyle k>0 \)
Hai commesso un errore il termine di posto 2-2 vale $16k$ e non $16$
scusa avrò che l'elemento $alpha_{4,1}=frac{4*0-(4k*16)}{-4k}=16$ dov'è l'errore?
Scusa, ma se il polinomio che vuoi analizzare è $p(s)=s^3+4s^2+(4k+4)s+16k$, allora la tabella di Routh la costruisco nel seguente modo:
$ | ( 1 , 4k+4 ),( 4 , 16k ),( a , b ),( c , d ) | $
ti pare?
$ | ( 1 , 4k+4 ),( 4 , 16k ),( a , b ),( c , d ) | $
ti pare?
hai ragione ho modificato mi ero dimenticato di trascrivere un termine k, grazie.
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