Esercizio: risposta libera di un sistema
Un sistema con ingresso \(\displaystyle x(t) \) e uscita \(\displaystyle y(t) \) è descritto dalla fdt:
\(\displaystyle G(s)=\frac{s+1}{s^2+5s+6} \)
Determinare per quale insieme di condizioni iniziali \(\displaystyle y(0) \) e \(\displaystyle y'(0) \) la risposta libera è pari a:
\(\displaystyle y_{LIB}(t)=[\frac{3e^{-3t}}{2}-\frac{e^{-2t}}{2}]u(t) \)
-----------
Vorrei più che altro capire il ragionamento da adottare per poter impostare il problema.
Non ho problemi da un punto di vista di calcolo ma vorrei familiarizzare con la logica che c'è dietro poiché non son molto sicuro che i miei ragionamenti siano corretti.
So che nella trasformazione di un'equazione differenziale secondo Laplace la risposta libera è il termine che dipende unicamente dalle condizioni iniziali; se determino la trasformata dell'evoluzione libera posso determinare le condizioni iniziali, infatti il mio problema sta tutto qui: come faccio a capire come identificare o quantomeno ricavare l'equazione differenziale che modella il sistema?
\(\displaystyle G(s)=\frac{s+1}{s^2+5s+6} \)
Determinare per quale insieme di condizioni iniziali \(\displaystyle y(0) \) e \(\displaystyle y'(0) \) la risposta libera è pari a:
\(\displaystyle y_{LIB}(t)=[\frac{3e^{-3t}}{2}-\frac{e^{-2t}}{2}]u(t) \)
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Vorrei più che altro capire il ragionamento da adottare per poter impostare il problema.
Non ho problemi da un punto di vista di calcolo ma vorrei familiarizzare con la logica che c'è dietro poiché non son molto sicuro che i miei ragionamenti siano corretti.
So che nella trasformazione di un'equazione differenziale secondo Laplace la risposta libera è il termine che dipende unicamente dalle condizioni iniziali; se determino la trasformata dell'evoluzione libera posso determinare le condizioni iniziali, infatti il mio problema sta tutto qui: come faccio a capire come identificare o quantomeno ricavare l'equazione differenziale che modella il sistema?
Risposte
Non sono proprio esperto in materia. Tuttavia, puoi risalire all'equazione differenziale della risposta libera guardando il denominatore della funzione di trasferimento. Insomma, io procederei in questo modo:
$[y''(t)+5y'(t)+6y(t)=0] ^^ \{(L[y(t)]=F(s)),(L[y'(t)]=sF(s)-y(0)),(L[y''(t)]=s^2F(s)-y(0)s-y'(0)):} rarr$
$rarr [s^2F(s)-y(0)s-y'(0)+5sF(s)-5y(0)+6F(s)=0] rarr$
$rarr [F(s)=(y(0)s+5y(0)+y'(0))/(s^2+5s+6)] rarr$
$rarr [(y(0)s+5y(0)+y'(0))/((s+3)(s+2))=3/2*1/(s+3)-1/2*1/(s+2)=(s+3/2)/((s+3)(s+2))] rarr$
$rarr \{(y(0)=1),(5y(0)+y'(0)=3/2):} rarr$
$rarr \{(y(0)=1),(y'(0)=-7/2):}$
Spero di non aver fatto errori di calcolo. Come verifica, sarebbe meglio che tu li ripetessi.
$[y''(t)+5y'(t)+6y(t)=0] ^^ \{(L[y(t)]=F(s)),(L[y'(t)]=sF(s)-y(0)),(L[y''(t)]=s^2F(s)-y(0)s-y'(0)):} rarr$
$rarr [s^2F(s)-y(0)s-y'(0)+5sF(s)-5y(0)+6F(s)=0] rarr$
$rarr [F(s)=(y(0)s+5y(0)+y'(0))/(s^2+5s+6)] rarr$
$rarr [(y(0)s+5y(0)+y'(0))/((s+3)(s+2))=3/2*1/(s+3)-1/2*1/(s+2)=(s+3/2)/((s+3)(s+2))] rarr$
$rarr \{(y(0)=1),(5y(0)+y'(0)=3/2):} rarr$
$rarr \{(y(0)=1),(y'(0)=-7/2):}$
Spero di non aver fatto errori di calcolo. Come verifica, sarebbe meglio che tu li ripetessi.
Benissimo. La "strategia" di basarsi sul denominatore della funzione di trasferimento è dovuta al fatto che per la risposta forzata bisogna considerare il denominatore del prodotto tra la fdt e l'ingresso anziché guardare il denominatore della sola fdt nel caso della risposta libera. E' giusto ciò che ho detto?
la strategia si basa sul ricavare semplicmente la risposta nel dominio del tempo associata alla fdt nel caso piu generale e poi assegnare le condizioni iniziali per confronto con l'espressione assegnata.
"cyd":
la strategia si basa sul ricavare semplicmente la risposta nel dominio del tempo associata alla fdt nel caso piu generale e poi assegnare le condizioni iniziali per confronto con l'espressione assegnata.
non so se ho inteso bene quello che dici, ma la risposta "associata" alla fdt è la risposta forzata a mio modo di vedere (nel senso che l'uscita forzata è data dalla convoluzione tra risposta impulsiva e ingresso, entrambi assunti come segnali causali), che dipende unicamente dall'ingresso.
volevo sottolineare una cosa: la funzione di trasferimento è ridotta ai minimi termini, per cui se il testo dell'esercizio non avesse dato il numero delle condizioni iniziali, non si sarebbe potuta trovare alcuna soluzione. il grado del denominatore sarebbe infatti stato più basso dell'ordine dell'equazione differenziale
Allora voglio vedere un po' se ho capito. La risposta forzata è data dalla convoluzione tra la fdt e l'ingresso mentre quella libera dovrebbe essere la risposta che il sistema ha quando gli si "somministra" un impulso di Dirac come ingresso. Giusto? Lo chiedo più che altro per capire la differenza pratica tra le due cose.
enr87: si, chiaro. ma dalla fdt, come ha fatto speculor, puoi risalire alla relazione differenziale con tanto di condizioni iniziali.
"cyd":
enr87: si, chiaro. ma dalla fdt, come ha fatto speculor, puoi risalire alla relazione differenziale con tanto di condizioni iniziali.
sì sì, non volevo contraddire nulla ma solo mettere in chiaro quell'aspetto, perchè mi pareva che lucamennoia fosse un po' alle prime armi e speculor l'aveva dato per scontato.
"lucamennoia":
Allora voglio vedere un po' se ho capito. La risposta forzata è data dalla convoluzione tra la fdt e l'ingresso mentre quella libera dovrebbe essere la risposta che il sistema ha quando gli si "somministra" un impulso di Dirac come ingresso. Giusto? Lo chiedo più che altro per capire la differenza pratica tra le due cose.
no, è un errore grave. la risposta libera è data dalla soluzione dell'EDO omogenea associata. risposta libera + risposta forzata è un modo di riparafrasare la soluzione generale di un'equazione differenziale lineare, che, come dovresti sapere da analisi 1 o 2, è data dalla soluzione particolare + la soluzione dell'omogenea associata. una differenza importante nei corsi di segnali o automatica sta nella causalità, in virtù della quale la risposta forzata (soluzione particolare) si annulla in t = t0 (istante temporale delle condizioni iniziali, che in genere si pone uguale a $0^-$).
comunque la tua domanda mi lascia perplesso: hai già studiato i sistemi LTI? e sai perchè si possono rappresentare con le EDO? se metti come ingresso la delta di dirac, come uscita (soluzione) cosa ti aspetti di trovare?
Io conosco bene i concetti ma non in modo perfettamente organico. Ecco perché faccio questi errori. Alle tue domande non son sicuro di saper rispondere in maniera adeguata ma il mio obbiettivo è imparare a farlo
. I sistemi LTI li conosco bene. Il perché si rappresentino con le EDO non mi è ancora ben chiaro; ma so bene, per la teoria di analisi, che le soluzioni delle EDO sono funzioni e quindi intuisco che l'equazione differenziale è una relazione che serve a legare delle funzioni a delle altre funzioni quindi gli ingressi ai vari tipi di andamenti della risposta, il come avviene è per me un mistero! Vorrei saper approfondire più di così ma è un qualcosa che non mi hanno spiegato, l'ho soltanto intuito dalle mie conoscenze di analisi.
Ho anche intuito facilmente che la delta di dirac è l'elemento neutro rispetto all'operazione di convoluzione e per questo con "risposta all'impulso" si intendono in sostanza i modi della funzione di trasferimento. Vi ringrazio dell'aiuto e spero di averne ancora

Ho anche intuito facilmente che la delta di dirac è l'elemento neutro rispetto all'operazione di convoluzione e per questo con "risposta all'impulso" si intendono in sostanza i modi della funzione di trasferimento. Vi ringrazio dell'aiuto e spero di averne ancora

ok, allora forse è il caso di capire per bene di cosa si parla.
al link trovi le dispense su cui ho studiato anch'io, non coprono tutto il corso ma buona parte. la parte che ti interessa è "lezioni su EDO e EAD" ed eventualmente la successiva sulle antitrasformate. buona lettura
http://www.isib.cnr.it/control/finesso/ ... ttico.html
potrebbe essere utile anche la nota sulla delta
ps: sopra ho parlato di EDO lineari che rappresentano sistemi LTI, va specificato che si intendono EDO lineari e a coefficienti costanti: in caso contrario perdi la tempo invarianza
al link trovi le dispense su cui ho studiato anch'io, non coprono tutto il corso ma buona parte. la parte che ti interessa è "lezioni su EDO e EAD" ed eventualmente la successiva sulle antitrasformate. buona lettura
http://www.isib.cnr.it/control/finesso/ ... ttico.html
potrebbe essere utile anche la nota sulla delta
ps: sopra ho parlato di EDO lineari che rappresentano sistemi LTI, va specificato che si intendono EDO lineari e a coefficienti costanti: in caso contrario perdi la tempo invarianza