Esercizio ricerca operativa / controllo ottimo

[hee136]

Ciao

Da me il corso si chiama ricerca operativa, da altre parti ho letto che si chiama controllo ottimo.

Sto svolgendo l'esercizio in figura.



Siccome posso misurare $ ul(y_i) $ e $ ul(z_i) $
Siccome vale che: $ ul(y_i) = ul(z_i) + ul(x_i) $
Allora il Decisore conosce $ ul(x_i) $
E' corretto?

Tutti i sistemi in questione sono equivalenti al caso in cui il Decisore può misurare perfettamente $ ul(x_i) $. Quindi posso applicare per la risoluzione le formule viste a lezione per quel caso particolare.
A lezione abbiam visto che il controllo ottimo nel caso in cui il decisore possa misurare perfettamente $ ul(x_i) $ è:
$ - L_i * ul( x_i ) $
In questo caso la soluzione dell'esercizio è: $ - L_i * ul( x_i ) = - L_i * ( ul(y_i) - ul(z_i) ) $

Possibile che sia finito così l'esercizio?
Non ho considerato qualcosa?
A cosa mi servono l'equazione di stato $ S1 $ e media e varianza del rumore in ingresso ad $ S1 $ se nella mia soluzione non le ho utilizzate?
Sugli appunti l'esercitatore va avanti per poco meno di una pagina però non mi è chiaro nè perchè nè cosa fa.

Grazie

[hee136]

Anche se non ho ricevuto risposte al primo esercizio, eccomi alla carica con un altro esercizio che non mi torna.

TESTO

E' dato il sistema dinamico lineare scalare: $ x_(i+1) = a*x_i + b*u_i + n_i $ , $ i = 0, 1, ... , N-1 $

Sono noti i valori $ x_1 , x_2 , ... , x_N $ dello stato ma non il valore iniziale $ x_0 $ . I controlli $ u_0, u_1, ... , u_(N-1) $ sono noti. E' noto il coefficiente $a$, ma non il coefficiente $b$.

Le caratteristiche statistiche di $n_0 , n_1 , ... , n_(N-1) $ non sono note. Si sa solo che $ E(n_i) = 0 $ per $ i = 0, 1, ... , N-1 $

Stimare $ x_0 $ e $ b $.

MIA RISOLUZIONE

Applico la stima ai minimi quadrati. Quindi cerco di riportarmi al caso base ovvero $ y = H*x + n $
$y$ è il vettore delle misure (note)
$H$ è la matrice
$x$ è il vettore di ciò che si vuole stimare (noto)
$n$ è il vettore dei rumori che influiscono sulle misure

Siccome nell'esercizio so che i rumori sono a media nulla posso applicare la stima ai minimi quadrati.

$ x_1 = a*x_0 + b * u_0 + n_0 $
$x_1$ è noto quindi lo lascio lì
i due termini successivi contengono ciò che si vuole stimare ($x_0$ e $b$ moltiplicati ognuno per un coefficiente noto)
poi c'è il rumore sommato

$ x_2 = a*x_1 + b * u_1 + n_1 $
$x_2$ è noto quindi lo lascio lì
$a*x_1$ è noto quindi lo porto dall'altra parte
il termini successivo presenta ciò che si vuole stimare ($b$) moltiplicato per un coefficiente noto
poi c'è il rumore sommato
Riscrivo: $ x_2 - a*x_1 = b * u_1 + n_1 $

$ x_N = a*x_(N-1) + b * u_(N-1) + n_(N-1) $
$x_N$ è noto quindi lo lascio lì
$a*x_(N-1)$ è noto quindi lo porto dall'altra parte
il termini successivo presenta ciò che si vuole stimare ($b$) moltiplicato per un coefficiente noto
poi c'è il rumore sommato
Riscrivo: $ x_N - a*x_(N-1) = b * u_(N-1) + n_(N-1) $

Riscrivo in forma matriciale le equazioni sopra:

$ ( ( x_1 ),( x_2 - a*x_1 ),( ... ),( x_N - a*x_(N-1) ) ) = ( ( a , u_0 ),( 0 , u_1 ),( ... , ... ),( 0 , u_(N-1) ) ) * ( ( x_0 ),( b ) ) + ( ( n_0 ),( n_1 ),( ... ),( n_(N-1) ) ) $

Il primo è il vettore che contiene le misure (note)
Il terzo è il vettore di ciò che si vuole stimare
La seconda è la matrice dei coefficienti (noti) di ciò che si vuole stimare.
Il quarto è il vettore dei rumori.

Ora che mi sono riportato al caso base dei minimi quadrati, posso applicare la stima ai minimi quadrati.

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C'è qualcosa di non corretto?
La risoluzione del prof è diversa quindi non posso verificare con quella.

Grazie