Esercizio grafico di Segnali [rect]
Allora, salve a tutti. Ho alcune perplessità sul metodo grafico, cioè nel risolvere alcune operazioni relative alla teoria dei segnali graficamente. Specialmente riiguardo alla convoluzione.
Allora, io ho un sistema con risposta impulsiva: $ h(t) = sinc (t/T)*sinc(t/(2T)) $
Voglio calcolarmi la risposta in frequenza, che so essere la convoluzione fra le rispettive trasformate delle due $ sinc $.
Quindi:
$ H(f)= T*rect(fT)(x)2Trect(2fT) $
$ (x) $ sta per convoluzione, non so come scriverlo
Ora, vorrei farlo graficamente. Però già mi vengono i primi dubbi nel disegnare le due rect. La prima è una rect centrata nell'origine di ampiezza T, ma tra quali estremi è definita? Cioè tra quali $ (f ; -f) $ è disegnata?
Perchè nel metodo grafico solitamente è il numero al denominatore che indica il "dominio" della rect, quindi in questo caso è 1? cioè è definita fra $-1/2 ; 1/2 $ ?
E inoltre il fatto che la variabile $ f $ sia moltiplicata per $ T $ e per $ 2T $ nelle due rect, come lo rappresento nel disegno, quale parametro della rect mi va a modificare?
Grazie mille.
Allora, io ho un sistema con risposta impulsiva: $ h(t) = sinc (t/T)*sinc(t/(2T)) $
Voglio calcolarmi la risposta in frequenza, che so essere la convoluzione fra le rispettive trasformate delle due $ sinc $.
Quindi:
$ H(f)= T*rect(fT)(x)2Trect(2fT) $
$ (x) $ sta per convoluzione, non so come scriverlo
Ora, vorrei farlo graficamente. Però già mi vengono i primi dubbi nel disegnare le due rect. La prima è una rect centrata nell'origine di ampiezza T, ma tra quali estremi è definita? Cioè tra quali $ (f ; -f) $ è disegnata?
Perchè nel metodo grafico solitamente è il numero al denominatore che indica il "dominio" della rect, quindi in questo caso è 1? cioè è definita fra $-1/2 ; 1/2 $ ?
E inoltre il fatto che la variabile $ f $ sia moltiplicata per $ T $ e per $ 2T $ nelle due rect, come lo rappresento nel disegno, quale parametro della rect mi va a modificare?
Grazie mille.
Risposte
[xdom="speculor"]Sposto in Ingegneria.[/xdom]
$rect(Tf)=rect(f/(1/T))$, idem per l'altra rect. Quindi la rect è centrata in 0 e va da $-1/(2T)$ a $1/(2T)$.
"Blackorgasm":
$rect(Tf)=rect(f/(1/T))$, idem per l'altra rect. Quindi la rect è centrata in 0 e va da $-1/(2T)$ a $1/(2T)$.
Giusto, non riuscivo a vedere quel fattore in quel modo. Grazie mille
Ora, quindi le due rect sono entrambe centrate in 0, la prima e di ampiezza $T$ e va da $ (-1/(2T) ; 1/(2T)) $ e la seconda è di ampiezza $ 2T $ e va da $ (-1/(4T) ; 1/(4T) ) $
Fare la convoluzione grafica vuol dire sommare fra loro gli inifiniti integrali del prodotto delle due rect, mentre la seconda trasla sopra la prima.
Quindi in sostanza, tengo la rect più "bassa" e più "larga" ferma nell'origine, e traslo sopra l'altra.
Ecco, qui non riesco a capire. Dalle soluzioni viene fuori un trapezio centrato nell'origine, dove la base maggiore va da $ (-3/(4T); 3/(4T)) $ e la base minore va da $ (-1/(4T) ; 1/(4T))$ e altezza T.
Ma non riesco proprio a capire come si arrivi a questo risultato. Qualcuno può aiutarmi?
devi tenere ferma una delle due rect come hai detto te (non conta quale delle due, per una nota proprietà) e l'altra in teoria dovresti traslarla da $-oo$ a $+oo$, però siccome lo devi fare in maniera grafica, puoi anche usare dei trucchetti grafici. Supponendo di tenere ferma nell'origine la rect di ampiezza $T$, prima di $-3/(4T)=-1/(2T)-1/(4T)$ la convoluzione sarà nulla, come dopo $3/(4T)$. Per ottenere questo risultato ho semplicemente centrato la rect più alta in $-1/(2T)$. Prova a continuare da solo, se hai problemi scrivi pure.
"Blackorgasm":
devi tenere ferma una delle due rect come hai detto te (non conta quale delle due, per una nota proprietà) e l'altra in teoria dovresti traslarla da $-oo$ a $+oo$, però siccome lo devi fare in maniera grafica, puoi anche usare dei trucchetti grafici. Supponendo di tenere ferma nell'origine la rect di ampiezza $T$, prima di $-3/(4T)=-1/(2T)-1/(4T)$ la convoluzione sarà nulla, come dopo $3/(4T)$. Per ottenere questo risultato ho semplicemente centrato la rect più alta in $-1/(2T)$. Prova a continuare da solo, se hai problemi scrivi pure.
Allora, mi torna che prima di $-3/(4T)=-1/(2T)-1/(4T)$ la rect sarà nulla perchè le due rect non si sovrappongono. Ma poi?
Cioè quando inziano a sovrapporsi cosa devo fare? moltiplicarle fra loro? e in che punto?
Perchè in $-3/(4*T) $ vale zero e man mano inizia a crescere linearmente?
Se la convoluzione è il prodotto fra i valori delle funzioni mentre una transla sull'altra non dovrebbe essere zero in tutti i punti in cui non sono sovrapposte? e quindi non dovrebbe essere zero anche fra $ -3/(4T) ; -1/(2T) $ ?
Edit:
Allora credo di aver capito un minimo in più. In sostanza, parlando di integrali, il grafico della convoluzione rappresenta l'area che si sovrappone delle due rect, durante il passaggio. Detto in modo maccheronico, giusto?
Quindi è ovvio che partendo da zero, man mano che le due aree si sovrappongono il grafico di convoluzione deve iniziare a salire, finchè le due rect non sono completamente contenute una nell'altra, ed è la fase in cui il grafico è costante, infine quando iniziano a risepararsi c'è la fase di discesa del trapezio.
Ma perchè inizia a $ -3/(4T) $ ? Cioè, l'area compresa non dovrebbe iniziare a crescere nel punto in cui si iniziano a sovrapporre e quindi a $ -1/(2T) $ ?
Ovviamente non puoi calcolarla in tutti i punti, sarebbe impossibile, allora devi trovare dei punti particolari in cui è facile vedere quanto vale il prodotto. Nei fronti in salita e discesa è difficile calcolarla, però per esempio puoi calcolarla quando una rect contiene interamente l'altra (ed è il punto in cui ottieni la base minore del trapezio). I fronti in salita e discesa sono poi una conseguenza del calcolo nei punti particolari (perché ricorda, da due punti passa una ed una sola retta... 
)
)
Ok, diciamo che ci sono. Dopodichè si chiede la Banda della risposta in frequenza.
La banda non dovrebbere essere l'intervallo in frequenza fra cui è definito il segnale? e quindi in questo caso $ 3/(4T)-(-3/(4T)) = 3/(2T) $ ?
La banda non dovrebbere essere l'intervallo in frequenza fra cui è definito il segnale? e quindi in questo caso $ 3/(4T)-(-3/(4T)) = 3/(2T) $ ?
Esatto
"Blackorgasm":
Esatto
Ecco perchè poi mi da altri due segnali e mi dice se il sistema introduce distorsioni lineari su di essi.
Io semplicemente devo vedere se la banda dei due segnali è più piccola della banda della risposta in frequenza?
Grazie mille per la pazienza.
ma che grazie 
se non volessi "grattacapi" non entrerei nel forum
Comunque essendo nel dominio della frequenza l'uscita dal sistema è ovviamente il prodotto della risposta in frequenza del sistema stesso con lo spettro del segnale immesso in ingresso, quindi devi semplicemente fare il prodotto (disegna entrambi gli spettri su uno stesso grafico in poche parole) e guarda se introduce o meno distorsioni lineari (devi sapere cosa è una distorsione lineare)
se non volessi "grattacapi" non entrerei nel forum Comunque essendo nel dominio della frequenza l'uscita dal sistema è ovviamente il prodotto della risposta in frequenza del sistema stesso con lo spettro del segnale immesso in ingresso, quindi devi semplicemente fare il prodotto (disegna entrambi gli spettri su uno stesso grafico in poche parole) e guarda se introduce o meno distorsioni lineari (devi sapere cosa è una distorsione lineare)
"Blackorgasm":
ma che grazie
Comunque essendo nel dominio della frequenza l'uscita dal sistema è ovviamente il prodotto della risposta in frequenza del sistema stesso con lo spettro del segnale immesso in ingresso, quindi devi semplicemente fare il prodotto (disegna entrambi gli spettri su uno stesso grafico in poche parole) e guarda se introduce o meno distorsioni lineari (devi sapere cosa è una distorsione lineare)
Ok grazie!
Allora, da quel che ho capito, le distorsioni possono essere in fase e in ampiezza.
Per vedere se subiscono delle distorsioni in ampiezza ho fatto in questo modo: I due segnali in ingresso sono
$ X_1(t) = sinc((t-T/2)/(3T))+sinc((t+T/2)/(3T)) $
$ X_2(t) = (sinc(t/T))^2 $
Ho trasformato:
$ X_1(f) = 6T*rect(3Tf)cos(pi*f*T) $
$ X_2(f) = T(1-|f|)rect((fT)/2) $
Da cui, vedo subito che avendo la prima banda $ B= 1/(6T) $ rimane tutta compresa all'interno della base minore del trapezio, cioè nella parte in cui il modulo della risposta in frequenza è costante. E quindi non introduce distorsioni su di essa.
La seconda banda $ B=1/T $ è più grande della banda stessa della risposta in frequenza, e quindi introduce distorsione in ampiezza su di essa.
Fin qui è giusto?
Ora, per vedere se invece introduce distorsioni in fase come faccio? La regola sarebbe di calcolarsi la fase della risposta in frequenza del sistema e vedere se è lineare (direttamente proporzionale alla $ f $). Però me la sono calcolata graficamente. C'è un modo per vedere la fase dallo spettro di ampiezza? O un altro modo per ottenderla?
Fino alle distorsioni in ampiezza ok, anche se non è precisissimo il secondo, cioè ok viene introdotta distorsione lineare ma in più c'è anche un filtraggio semplici dettagli (che però ad un orale possano fare differenza).
Poi non è corretto dire "la fase della risposta in ampiezza", ovvero la risposta in ampiezza è quella e fine, poi hai la risposta in fase comunque (non vorrei dire una cavolata quindi quello che sto per dirti prendilo con le molle), essendo il segnale reale e pari, anche lo spettro è reale e pari (ed effettivamente è così), quindi la sua fase è 0, e di conseguenza non ci sono distorsioni. Però ovviamente non è un sistema causale.
semplici dettagli (che però ad un orale possano fare differenza).Poi non è corretto dire "la fase della risposta in ampiezza", ovvero la risposta in ampiezza è quella e fine, poi hai la risposta in fase
comunque (non vorrei dire una cavolata quindi quello che sto per dirti prendilo con le molle), essendo il segnale reale e pari, anche lo spettro è reale e pari (ed effettivamente è così), quindi la sua fase è 0, e di conseguenza non ci sono distorsioni. Però ovviamente non è un sistema causale.
"Blackorgasm":
Fino alle distorsioni in ampiezza ok, anche se non è precisissimo il secondo, cioè ok viene introdotta distorsione lineare ma in più c'è anche un filtraggio
Poi non è corretto dire "la fase della risposta in ampiezza", ovvero la risposta in ampiezza è quella e fine, poi hai la risposta in fase
Sì hai ragione, essendo reale puro non ha senso parlare di spettro di fase perchè è cotantemente 0. Infatti nella risoluzione nemmeno le nominava le distorsioni di fase, forse proprio per questo motivo.
Sulla prima parte non ho capito bene. Perchè ci sarebbe un filtraggio?
Non ho fatto i conti, però se il segnale in ingresso ha lo spettro più largo rispetto alla risposta in frequenza del sistema, dovendo fare il prodotto, la parte "in eccesso" viene posta a 0, cioè il segnale subisce un filtraggio.
"Blackorgasm":
Non ho fatto i conti, però se il segnale in ingresso ha lo spettro più largo rispetto alla risposta in frequenza del sistema, dovendo fare il prodotto, la parte "in eccesso" viene posta a 0, cioè il segnale subisce un filtraggio.
Quindi di conseguenza è distorto in ampiezza, poichè per non esserlo come condizione base c'è il fatto che la banda della risposta in frequenza deve essere $ > $ della banda del segnale, oltre al fatto che deve essere costante (e quindi in questo caso non basterebbe come condizione poichè già al di fuori della "base minore" del trapezio non è più costante e quindi genera distorsioni). O è sbagliato dirlo?
Si si è giusto, perché in questo caso non avresti nessuna distorsione e/o filtraggio solamente all'interno della base minore del trapezio, mentre fuori il segnale viene praticamente distrutto.
Perfetto
Ultimissimissimissima cosa
La condizione per non introdurre distorsioni in fase è che la fase sia lineare (proporzionale con la frequenza), oppure ovviamente anche nulla in tutto il dominio (come nel caso qui sopra).
Nel caso però sia definita a tratti? Cioè ad esempio, se lo spettro di fase di $ H(f) $ è lineare, ma lo è ad esempio fra $ -B/2 ; B/2 $ mentre è nullo esternamente, e io do in ingresso un segnale che invece ha banda compresa fra $ -B; B $ questo mi viene distorto in fase?
In ampiezza ovviamente si, ma in fase mi verrebbe da dire di no, poichè non è necessario che la banda copra tutta la banda del segnale in ingresso, perchè non c'è da fare il prodotto per 0 ed annullare quindi parte del segnale, semplicemente dove non c'è lascia la fase invariata. E' sbagliato?
Ultimissimissimissima cosa
La condizione per non introdurre distorsioni in fase è che la fase sia lineare (proporzionale con la frequenza), oppure ovviamente anche nulla in tutto il dominio (come nel caso qui sopra).
Nel caso però sia definita a tratti? Cioè ad esempio, se lo spettro di fase di $ H(f) $ è lineare, ma lo è ad esempio fra $ -B/2 ; B/2 $ mentre è nullo esternamente, e io do in ingresso un segnale che invece ha banda compresa fra $ -B; B $ questo mi viene distorto in fase?
In ampiezza ovviamente si, ma in fase mi verrebbe da dire di no, poichè non è necessario che la banda copra tutta la banda del segnale in ingresso, perchè non c'è da fare il prodotto per 0 ed annullare quindi parte del segnale, semplicemente dove non c'è lascia la fase invariata. E' sbagliato?
Si deve essere lineare su tutto l'insieme di frequenze dove è definito lo spettro del segnale in ingresso. E' semplice da capire, perché la risposta in frequenza lineare comporta un semplice ritardo delle armoniche, se te alcune armoniche le ritardi, mentre altre no, ottieni un segnale completamente diverso alla fine
deve essere lineare su tutto l'insieme di frequenze dove è definito lo spettro del segnale in ingresso. E' semplice da capire, perché la risposta in frequenza lineare comporta un semplice ritardo delle armoniche, se te alcune armoniche le ritardi, mentre altre no, ottieni un segnale completamente diverso alla fine
"Blackorgasm":
Si
Giusto! NO mi stavo confondendo perchè ho un esercizio in cui la fase della risposta in frequenza è lineare a tratti, e nei tratti restanti è nulla. E gli viene inviato un segnale che in frequenza è una serie di delta di dirac che cadono tutte nelle zone nulle, è per quello che non viene distorto in fase. Inizialmente avevo pensato che era perchè lineare o nullo non faceva differenza, invece è per questo!
Grazie mille!
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